Funzione tangente tan(x) o tg(x)

La funzione tangente è una funzione trigonometrica, periodica ed illimitata. Indicata con tan(x) o anche con tg(x), viene definita mediante la nozione di tangente di un angolo, considerando gli angoli espressi in radianti.

 

La terza funzione goniometrica di cui ci occupiamo è la funzione tangente di x. Per iniziare proponiamo il grafico di y=tg(x) e le principali proprietà che servono nella risoluzione degli esercizi di Analisi Matematica.

 

f(x)=\tan(x)

 

Se vi interessa la definizione goniometrica della tangente, trovate una spiegazione dettagliata qui: tangente e cotangente. A tal proposito vi ricordiamo che per definizione

 

\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

 

Grafico della tangente

 

 

Funzione tangente di x

 

Proprietà della tangente

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty) esclusi i punti della forma x=\frac{\pi}{2}+k\pi al variare di k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione illimitata con immagine Im(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

4) Segno della funzione:

 

- positiva per k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi

 

- negativa per \frac{\pi}{2}+k\pi<x<(k+1)\pi

 

con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

5) Intersezioni con gli assi:

 

\\ x=0\ \to\ y=0\\ \\ y=0\ \to\ x=k\pi

 

con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

6) Funzione periodica con periodo \pi.

 

 

Le successive proprietà *** vengono espresse sull'intervallo di periodicità \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).

 

 

7) *** Monotona strettamente crescente

 

 

8) *** Convessa sull'intervallo \left[0,\frac{\pi}{2}\right), concava sulla restante parte dell'intervallo di periodicità.

 

 

9) *** Continua tranne che in x=\frac{\pi}{2} (discontinuità di seconda specie).

 

 

10) *** Derivabile tranne che in x=\frac{\pi}{2}.

 

 

11) *** Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-}{\tan{(x)}}=+\infty\\ \\ \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^+}{\tan{(x)}}=-\infty

 

 

12) Limite notevole associato:

 

\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)}{x}=1

 

 

13) Derivata della tangente:

 

\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}

 

 

14) Integrale della tangente:

 

\int{\tan(x)dx}=-\ln(\cos(x))+c

 

 

15) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro in x_0=0:

 

\tan(x)= x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+ o(x^6)\quad \mbox{ per }|x|\textless \frac{\pi}{2}

 

 

Approfondimenti: valori e formule della tangente

 

- valori delle funzioni trigonometriche;

 

- formule trigonometriche

 

 


 

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Tags: lezione di riepilogo sulla tg(x) con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione tangente di x tan(x), tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale della tangente di x.