Funzione coseno cos(x)

La funzione coseno è una funzione trigonometrica, periodica e limitata. Viene indicata con cos(x) e viene definita a partire dal concetto di coseno di un angolo, esprimendo gli angoli in radianti.

 

Qui di seguito ci occupiamo della seconda funzione goniometrica della nostra rassegna, la funzione coseno di x. Partiamo dal grafico di y=cos(x) per poi passare ad elencare tutte le proprietà che la riguardano.

 

y=\cos(x)

 

Se stai cercando la definizione trigonometrica del coseno, la puoi trovare nell'articolo seno e coseno.

 

Grafico del coseno

 

Nota: il grafico della funzione coseno viene talvolta indicato con il termine cosinusoide.

 

 

Funzione coseno di x

 

Proprietà del coseno di x

 

Le principali proprietà analitiche della funzione coseno possono essere dedotte abbastanza facilmente dal grafico: attenzione ai limiti agli estremi.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty)

 

 

2) È una funzione pari.

 

 

3) Funzione limitata con immagine Im(f)=[-1,+1].

 

 

4) Segno della funzione:

 

- positiva per 2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee\ \frac{3\pi}{2}+2k\pi<x<(2k+2)\pi

 

- negativa per \frac{\pi}{2}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{2}+2k\pi

 

con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

5) Intersezioni con gli assi:

 

\\ x=0\ \to\ y=1\\ \\ y=0\ \to\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi

 

con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

6) Funzione periodica con periodo 2\pi.

 

 

Le successive proprietà *** vengono espresse sull'intervallo di periodicità.

 

 

7) *** Monotona strettamente crescente su \left[\pi,2\pi\right), strettamente decrescente sulla restante parte dell'intervallo di periodicità.

 

 

8) *** Concava sull'intervallo \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{3}{2}\pi,2\pi\right), convessa sulla restante parte dell'intervallo di periodicità.

 

 

9) Continua su tutto \mathbb{R}, derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

10) Limiti agli estremi del dominio: non esistono.

 

 

11) Limite notevole del coseno:

 

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}

 

 

12) Derivata del coseno:

 

\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)

 

 

13) Integrale del coseno:

 

\int\cos(x)dx=\sin(x)+c

 

 

14) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro in x_0=0:

 

\cos(x)= 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\frac{x^8}{40320}-...+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})

 

 

Approfondimenti: valori e formule del coseno

 

- valori delle funzioni goniometriche

 

- formule goniometriche.

 

 


 

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