Funzione seno sin(x) o sen(x)

La funzione seno, indicata con sin(x) o con sen(x), è una funzione trigonometrica, periodica e limitata. La funzione seno viene definita mediante il seno di un angolo e considerando gli angoli espressi in radianti.

 

In questa lezione continuiamo la rassegna delle funzioni elementari e iniziamo a trattare le funzioni trigonometriche da un punto di vista analitico, partendo naturalmente dalla funzione seno di x. Per cominciare vediamo il grafico di y=sin(x) e passiamo poi ad elencare le proprietà che caratterizzano tale funzione.

 

f(x)=\sin(x)

 

Se ti interessa la definizione da un punto di vista strettamente goniometrico, trovi tutto quello che serve sapere qui: seno e coseno.

 

Grafico del seno

 

Nota: il grafico della funzione seno viene talvolta detto sinusoide.

 

 

Funzione seno di x

 

Proprietà del seno di x

 

Vediamo le principali proprietà analitiche della funzione seno.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione limitata con immagine Im(f)=[-1,+1].

 

 

4) Segno della funzione:

 

- positiva per 2k\pi<x<(2k+1)\pi

 

- negativa per (2k-1)\pi<x<2k\pi

 

con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

5) Intersezioni con gli assi:

 

\\ x=0\ \to\ y=0\\ \\ y=0\ \to\ x=k\pi

 

con k nell'insieme dei numeri relativi.

 

 

6) Funzione periodica con periodo 2\pi.

 

 

Le successive proprietà indicate con *** vengono espresse sull'intervallo di periodicità [0,2\pi].

 

 

7) *** Monotona strettamente crescente su \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{3}{2}\pi,2\pi\right), strettamente decrescente sulla restante parte dell'intervallo di periodicità.

 

 

8) *** Concava su \left[0,\pi\right], convessa sulla restante parte dell'intervallo di periodicità.

 

 

9) Continua su tutto \mathbb{R}, derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

10) Limiti agli estremi del dominio: non esistono.

 

 

11) Limite notevole associato:

 

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1

 

 

12) Derivata del seno:

 

\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)

 

 

13) Integrale del seno:

 

\int{\sin(x)dx}=-\cos(x)+c

 

 

14) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor con centro in x_0=0:

 

\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+...+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})

 

 

Approfondimenti: formule e valori del seno

 

- valori delle funzioni goniometriche;

 

- formule trigonometriche.

 

 


 

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Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione seno di x sin(x), tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale del seno di x.