Valore assoluto

Il valore assoluto, detto anche modulo, è una funzione che associa ad un numero negativo il numero stesso con segno positivo, a zero associa zero e lascia invariati i numeri positivi. l valore assoluto di un numero è quindi sempre positivo o eventualmente nullo. 

 

In questa lezione vedremo dapprima cos'è il valore assoluto di un numero reale e quali sono le sue proprietà; introdurremo poi la funzione modulo (o funzione valore assoluto), ne esamineremo le caratteristiche e ne tracceremo il grafico.

 

Attenzione: la prima parte è rivolta a tutti, mentre la parte conclusiva dell'articolo (dal grafico in poi) è rivolta solamente agli studenti dalla quinta superiore in avanti.

 

Definizione di valore assoluto di un numero reale

 

Sia x un numero reale. Il valore assoluto di x, che indicheremo con |x| o con \mbox{abs}(x), è il numero definito nel modo seguente:

 

|x|=x se x è un numero non negativo (cioè positivo o nullo);

 

|x|=-x se x è un numero negativo. 

 

In matematichese scriveremo:

 

|x|=\begin{cases}x \ \mbox{se} \ x \ge 0 \\ -x \ \mbox{se} \ x\textless 0 \end{cases}

 

Ad esempio, il valore assoluto di -5 è uguale a 5 e scriveremo:

 

|-5|=5

 

Il valore assoluto sia di 3/2 che di -3/2 è uguale a 3/2

 

\left|\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}

 

E così via per qualsiasi numero reale vi venga in mente.

 

 

Attenzione! Soprattutto alla scuola media ci viene detto che il valore assoluto di un numero è uguale al numero privato del segno. Sappiate che un'affermazione del genere miete non poche vittime una volta passati alla scuola superiore... Per non parlare poi della reazione che potrebbe avere un docente universitario! Una definizione del genere porta a fare errori grossolani; la definizione di valore assoluto è quella data sopra: punto e stop! ;)

 

Breve parentesi: chi fosse interessato può leggere

 

- il metodo per risolvere le equazioni col valore assoluto;

 

- il procedimento per le disequazioni con valore assoluto.

 

Proprietà del valore assoluto di un numero reale

 

Siano a e b due numeri reali. Valgono le seguenti proprietà del valore assoluto:

 

1) il valore assoluto di a è una quantità maggiore o uguale a zero. In formule:

 

|a|\ge 0

 

2) Il valore assoluto di a è uguale a zero se e solo se a è uguale a zero. Scriveremo:

 

|a|=0 \iff a=0

 

3) Il valore assoluto di un prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti:

 

|a \cdot b|=|a| \cdot |b|

 

4) Supponendo che b sia diverso da zero, il valore assoluto di a fratto b è uguale al rapporto dei valori assoluti:

 

\left| \frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}

 

5) Il valore assoluto di una differenza è uguale a zero se e solo se minuendo e sottraendo sono uguali:

 

|a-b|=0 \iff a=b

 

6)

 

|a| \le b \iff -b \le a \le b

 

7)

 

|a| \ge b \iff a \le -b \ \mbox{oppure} \ a\ge b

 

8) Disuguaglianza triangolare:

 

|a+b| \le |a|+|b|

 

Cioè il valore assoluto di una somma è minore o al più uguale della somma dei valori assoluti.

 

9) Lipschitzianità del valore assoluto:

 

|a-b| \ge \left| |a| - |b| \right|

 

Vi anticipiamo sin da subito che userete le proprietà 6) e 7) fino allo svenimento quando svolgerete le disequazioni con valore assoluto. ;)

 

Funzione valore assoluto o funzione modulo


Riprendiamo un attimo la definizione di valore assoluto prima all'inizio e chiediamoci: in termini pratici, qual è il comportamento del valore assoluto?

 

Essa prende un numero reale (x) e ad esso associa una quantità non negativa che indichiamo con |x|.

 

Questo modo di esprimersi vi ricorda qualcosa? Dovrebbe far venire subito in mente il concetto di funzione reale di variabile reale, è non a caso; il valore assoluto è in realtà una funzione che associa al numero reale x un numero reale non negativo (|x|) definito come sopra.

 

In simboli possiamo riassumere la definizione della funzione valore assoluto nella forma seguente:

 

| \ \ |: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto |x|:=\begin{cases}x \ \mbox{se} \ x \ge 0 \\ -x \ \mbox{se} \ x \textless 0 \end{cases} 


Grafico della funzione valore assoluto

 

Valore assoluto

 

Proprietà del valore assoluto (o modulo)

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

2) È una funzione pari.

 

 

3) Funzione illimitata superiormente con immagine Im(f)=[0,+\infty).

 

 

4) Monotonia: funzione monotona strettamente decrescente per x<0, strettamente crescente per x>0.

 

 

5) Convessità: convessa su \mathbb{R}.

 

 

6) Continuità: continua su tutto \mathbb{R}.

 

 

7) Derivabilità: derivabile su tutto \mathbb{R} tranne che in x=0, in cui presenta un punto angoloso.

 

 

8) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}{|x|}=+\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{|x|}=+\infty

 

 

9) Derivata del valore assoluto:

 

\frac{d}{dx}|x|=\frac{|x|}{x}=\mbox{sgn}(x)

 

 

10) Integrale del valore assoluto:

 

\int{|x|dx}=\frac{x|x|}{2}+c

 

 


 

Possiamo fermarci qui, che ne dite? :) Eventualmente avete a disposizione una scheda di esercizi svolti e proposti sul valore assoluto, la quale vi permetterà di consolidare lo studio dei concetti che abbiamo appena esposto. E se non bastassero, c'è una bellissima barra di ricerca interna con cui potrete cercare tra le migliaia di esercizi risolti presenti su YM. ;)

 

 

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