Radice di x con indice dispari

Dopo esserci occupati del caso delle radici con indice pari, passiamo alle funzioni della forma radice di x con indice dispari. Anche in questo caso ne consideriamo il grafico e le varie proprietà analitiche.

 

Per quanto riguarda la definizione, l'espressione analitica di una radice di x è data mediante un radicale con radicando variabile ed indice di radice costante

 

f(x)=\sqrt[n]{x}

 

o, in modo del tutto equivalente

 

f(x)=x^{\frac{1}{n}}

 

Nel caso in esame tratteremo solamente il caso in cui n è un numero naturale e nella fattispecie un numero dispari maggiore di 1.

 
 
 

Grafico delle funzioni radice di x ad indice dispari

 

y=\sqrt[n]{x}\ \ \mbox{con }n=2k+1,\ k\in\mathbb{N}-\{0\}

 

Funzione radice di x con indice dispari

(in blu la radice cubica y=\sqrt[3]{x}, in rosso y=\sqrt[5]{x} )

 

Principali proprietà delle funzioni radici ad indice dispari

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty)

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione illimitata con immagine Im(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

4) Monotona crescente strettamente su tutto il dominio.

 

 

5) Convessa x<0, concava per x>0.

 

 

6) Continua su tutto \mathbb{R}, derivabile su tutto \mathbb{R} tranne che in x=0 (punto di flesso a tangente verticale).

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}{\sqrt[n]{x}}=-\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\sqrt[n]{x}}=+\infty

 

 

8) Derivata della radice:

 

\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}

 

 

9) Integrale della radice:

 

\int{x^{\frac{1}{n}}dx}=\frac{n}{n+1}\sqrt[n]{x^{n+1}}+c

 

 

10) (Per studenti universitari) sviluppo di Taylor correlato, per la funzione y=\sqrt[3]{1+x} con centro x_0=0

 

\sqrt[3]{1+x}= (1+x)^{\frac{1}{3}}=1+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}+\frac{5}{81}x^3-\frac{10}{243}x^4-\frac{22}{729}x^5-\frac{154}{6561}x^6+ o(x^6)

 

 


 

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Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione radice dispari di x x^(1/3), x^(1/5),... tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale delle radici dispari di x.