Radice di x con indice pari

Qui ti proponiamo le proprietà e il grafico delle funzioni del genere radice di x con indice pari; per quelle dispari dai un'occhiata alla lezione successiva. ;)

 

La definizione delle funzioni radice di x con indice pari è data mediante un radicale con radicando x ed indice di radice costante

 

f(x)=\sqrt[n]{x}

 

che equivalentemente si può esprimere nella forma

 

f(x)=x^{\frac{1}{n}}

 

In questa scheda considereremo esclusivamente il caso in cui l'indice di radice n è un numero naturale, nonché un numero pari positivo.

 

Grafico della radice di x ad indice pari

 

y=\sqrt[n]{x}\ \ \ \mbox{con }n=2k,\ k\in\mathbb{N}-\{0\}

 

Funzione radice con indice pari

(in blu la radice quadrata y=\sqrt{x}, in rosso y=\sqrt[4]{x} )

 

Proprietà della radice di x con indice pari

 

Per quanto riguarda le principali proprietà analitiche della funzione radice di x con indice pari, valgono le seguenti.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=[0,+\infty)

 

 

2) Inutile parlare di parità e disparità, sapendo qual è il dominio.

 

 

3) Funzione illimitata superiormente con immagine Im(f)=[0,+\infty).

 

 

4) Monotona crescente strettamente su tutto il dominio.

 

 

5) Concava su tutto il dominio.

 

 

6) Continua su tutto \mathbb{R}, derivabile su \mathbb{R}-\{0\}.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\lim_{x\to +\infty}{\sqrt[n]{x}}=+\infty

 

 

8) Derivata della radice:

 

\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}

 

 

9) Integrale della radice:

 

\int{x^{\frac{1}{n}}dx}=\frac{n}{n+1}\sqrt[n]{x^{n+1}}+c

 

 

10) (Per studenti universitari) sviluppo di Taylor correlato della funzione y=\sqrt{1+x} con centro x_0=0:

 

\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}= 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5}{128}x^4+\frac{7}{256}x^5-\frac{21}{1024}x^6+o(x^6)

 

 


 

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Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione radice pari di x sqrt(x), x^(1/4), x^(1/6),... tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale delle radici pari di x.