Funzione potenza con esponente dispari

Dopo aver visto le proprietà e il grafico della funzione potenza di x nel caso in cui l'indice sia pari, passiamo al caso di indice dispari.

 

La definizione di base non cambia: facciamo riferimento a una famiglia di funzioni definite mediante una potenza in cui la base è variabile mentre l'esponente è costante

 

f(x)=x^n

 

e in particolare consideriamo il caso in cui n è un numero naturale maggiore di 1 e dispari.

 

Anche qui bisogna ovviamente tenere presenti le proprietà delle potenze nella risoluzione degli esercizi.

 

Grafico della funzione potenza di x con esponente dispari

 

y=x^n\ \ \ \mbox{con }n=2k+1,\ k\in\mathbb{N}-\{0\}

 

Potenza di x con esponente dispari

(in blu y=x3, in rosso y=x5)

 

Proprietà della funzione potenza di x con esponente dispari

 

Passiamo alle proprietà analitiche della funzione potenza di x.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione illimitata con immagine Im(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

4) Monotona crescente strettamente su tutto il dominio.

 

 

5) Convessa per x>0, concava per x<0

 

 

6) Continua su tutto \mathbb{R} e derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}{x^n}=-\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{x^n}=+\infty

 

 

8) Derivata di x^n:

 

\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}

 

 

9) Integrale di x^n:

 

\int{x^{n}dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c

 

 


 

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