Funzione potenza con esponente pari

La funzione potenza di x per definizione è individuata da una potenza con base variabile ed esponente costante; con questa terminologia si sottointende che l'esponente sia un numero intero positivo.

 

In questa lezione di riepilogo ti proponiamo il grafico e le proprietà della funzione potenza di x, limitandoci a considerare il caso in cui n è un numero naturale positivo ed in particolare un numero pari. L'espressione analitica è quindi della forma

 

f(x)=x^n

 

Naturalmente per lavorare con questo genere di funzione bisogna ricordare bene le proprietà delle potenze che abbiamo imparato negli studi precedenti. Per chi fosse interessato, nella lezione successiva tratteremo il caso in cui l'esponente è dispari.

 

Grafico della funzione potenza di x con esponente pari

 

y=x^n\ \ \ \mbox{con }n=2k,\ k\in\mathbb{N}-\{0\}

 

Potenza di x con esponente pari

(in blu y=x2, in rosso y=x4)

 

Proprietà della funzione potenza di x con esponente pari

 

Per quanto riguarda le principali proprietà analitiche della potenza di x, dal dominio fino agli integrali, riportiamo le seguenti.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

2) È una funzione pari.

 

 

3) Funzione illimitata superiormente con immagine Im(f)=[0,+\infty).

 

 

4) Monotona decrescente strettamente per x<0, crescente strettamente per x>0.

 

 

5) Convessa su tutto il dominio.

 

 

6) Continua su tutto \mathbb{R} e derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}{x^n}=+\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{x^n}=+\infty

 

 

8) Derivata di x^n:

 

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

 

 

9) Integrale di x^n:

 

\int{x^{n}dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c

 

 


 

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Tags: lezione di riepilogo con la definizione, il grafico e tutte le proprietà della funzione potenza di x con indice pari x^n, tra cui: il dominio, la monotonia, la convessità, i limiti agli estremi, il limite notevole associato, la derivata e l'integrale delle potenze ad indice pari.