Funzione logaritmica con base minore di 1

Com'è fatto il grafico di una funzione logaritmica con base compresa tra 0 e 1, e quali sono le proprietà che la caratterizzano?

 

Le vediamo subito, ma prima una piccola premessa: parlando di funzione logaritmica ci si può riferire ad una qualsiasi funzione definita mediante un logaritmo e che quindi può avere una base o un argomento variabili, o entrambe le cose.

 

Qui consideriamo il caso in cui l'argomento è variabile e la base costante

 

y=\log_a(x)

 

ed in particolare, come base una costante compresa tra zero e uno. Nella precedente scheda abbiamo trattato il caso in cui la base è maggiore di 1.

 

Consigliamo anche di ricordare le varie proprietà dei logaritmi, che sono sempre utili. ;)

 

Grafico della funzione logaritmica con base minore di 1

 

y=\log_a(x)\ \ \ \mbox{con }0<a<1

 

Grafico della funzione logaritmica con base minore di 1

(in blu y=log(1/2)(x), in rosso y=log(1/3)(x) )

 

Proprietà della funzione logaritmica con base minore di 1

 

1) Dominio: Dom(f)=(0,+\infty)

 

 

2) Non ha senso parlare di parità o disparità.

 

 

3) Funzione illimitata con immagine Im(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

4) Funzione monotona decrescente strettamente su tutto il dominio.

 

 

5) Convessa su tutto il dominio.

 

 

6) Continua e derivabile su tutto il dominio.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to 0^+}{\log_a(x)}=+\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{\log_a(x)}=-\infty

 

 

8) Limite notevole associato:

 

\lim_{x\to 0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln(a)}

 

 

9) Derivata del logaritmo:

 

\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}

 

 

10) Integrale del logaritmo:

 

\int\log_a(x)dx=x\log_a(x)-x\log_a(e)+c

 

 


 

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