Funzione logaritmica ln(x) o log(x)

Una funzione logaritmica per definizione è una funzione data da un logaritmo in cui la base è una costante e l'argomento è variabile. A seconda dei contesti, l'espressione funzione logaritmica può indicare la specifica funzione con base il numero di Nepero ed argomento variabile, indicata con ln(x) o con log(x).

 

Qui di seguito trovate tutte le proprietà e il grafico della funzione logaritmica con base maggiore di 1.

 

A titolo di cronaca, e più in generale, si possono considerare come funzioni logaritmiche anche le funzioni definite mediante un logaritmo con base variabile, o argomento variabile, o entrambi. Qui di seguito ci limiteremo al caso delle funzioni logaritmiche del tipo

 

y=\log_a(x)

 

con argomento variabile e una base costante maggiore di 1. Questa tipologia di funzioni logaritmiche è la più ricorrente congiuntamente ai logaritmi con base costante e minore di 1, di cui ci occuperemo nella prossima scheda.

 

A prescindere da tutto, è sempre bene tenere a mente le proprietà dei logaritmi. ;)

 

Grafico della funzione logaritmica con base maggiore di 1

 

y=\log_a(x)\ \ \ \mbox{con }a>1

 

Grafico della funzione logaritmica

(in blu il logaritmo naturale y=ln(x), in rosso y=log4(x) )

 

Proprietà della funzione logaritmica con base maggiore di 1

 

1) Dominio: Dom(f)=(0,+\infty)

 

 

2) Non ha senso parlare di parità o disparità, alla luce del dominio.

 

 

3) Funzione illimitata con immagine Im(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

4) Funzione monotona crescente strettamente su tutto il dominio.

 

 

5) Concava su tutto il dominio.

 

 

6) Continua e derivabile su tutto il dominio.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=-\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}\log_a(x)=+\infty

 

 

8) Limite notevole associato:

 

\lim_{x\to 0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln(a)}

 

 

9) Derivata del logaritmo:

 

\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}

 

 

10) Integrale del logaritmo:

 

\int\log_a(x)dx=x\log_a(x)-x\log_a(e)+c

 

 

11) Per studenti universitari: sviluppo di Taylor correlato, per la funzione y=\ln(1+x) con centro in x_0=0

 

\ln(1+x)= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\cdots +\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n+ o(x^n)\quad\mbox{per } |x|\textless 1

 

 


 

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