Funzione esponenziale a^x con base tra 0 e 1

Passiamo all'esponenziale con base compresa tra 0 e 1 e vediamo anche in questo caso il grafico e le proprietà analitiche fondamentali. Se ti interessano le proprietà della funzione esponenziale con base maggiore di 1... click!

 

Come già sappiamo, una qualsiasi funzione esponenziale si presenta come una potenza con base costante ed esponente variabile, ed ha un'espressione analitica della forma y=a^x o più precisamente

 

f(x)=a^x

 

In questa pagina ci occupiamo (lo ribadiamo a scanso di equivoci) del caso 0<a<1.

 

Grafico delle funzione esponenziale con base tra 0 e 1

 

y=a^x\ \ \ \mbox{con }0<a<1

 

Esponenziale con base minore di 1

(in blu y=(0.5)x, in rosso y=(0.25)x, in verde y=(0.1)x)

 

Proprietà dell'esponenziale con base compresa tra 0 e 1

 

Ecco le proprietà analitiche della funzione esponenziale nel caso in cui la base appartenga all'intervallo [0,1]. Da notare le differenze rispetto al caso in cui la base è maggiore di 1.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

2) È una funzione né pari né dispari.

 

 

3) Funzione illimitata superiormente con immagine Im(f)=(0,+\infty).

 

 

4) Monotona decrescente strettamente su tutto il dominio.

 

 

5) Convessa su tutto il dominio.

 

 

6) Continua su tutto \mathbb{R}derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

7) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}{a^x}=+\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{a^x}=0^+

 

 

8) Limite notevole associato:

 

\lim_{x\to 0}{\frac{a^x-1}{x}}=\ln{(a)}

 

 

9) Derivata dell'esponenziale:

 

\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln{(a)}

 

 

10) Integrale dell'esponenziale:

 

\int{a^{x}dx}=\frac{a^{x}}{\ln{(a)}}+c

 

 


 

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