Funzione esponenziale

Attenzione, concentrazione: qui proponiamo grafico e tutte le proprietà della funzione esponenziale in un caso ben preciso, quello in cui la base della funzione esponenziale è maggiore di 1. Se ti interessano le proprietà della funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1, puoi leggere la scheda dell'omonimo link.

 

Per definizione, una funzione esponenziale è definita mediante una potenza in cui la base è una costante e l'esponente è variabile. È cioè una funzione con espressione analitica della forma

 

f(x)=a^x

 

In questa pagina ci riferiamo al caso della funzione esponenziale con base maggiore di 1.

 

Grafico della funzione esponenziale

 

y=a^x\ \ \ \mbox{con }a>1

 

Funzione esponenziale

(in blu y=2x, in rosso y=ex, in verde y=6x

 

Proprietà della funzione esponenziale

 

Vediamo le principali proprietà analitiche della funzione esponenziale con base maggiore di 1: dal dominio fino a derivate e integrali.

 

Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty)

 

È una funzione né pari né dispari.

 

Funzione illimitata superiormente con immagine Im(f)=(0,+\infty).

 

Funzione monotona crescente strettamente su tutto il dominio.

 

Convessa su tutto il dominio.

 

Continua su tutto \mathbb{R} e derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}{a^x}=0^+\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{a^x}=+\infty

 

Limite notevole associato:

 

\lim_{x\to 0}{\frac{a^x-1}{x}}=\ln{(a)}

 

Derivata dell'esponenziale:

 

\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln{(a)}

 

Integrale dell'esponenziale:

 

\int{a^{x}dx}=\frac{a^{x}}{\ln{(a)}}+c

 

Per studenti universitari sviluppo di Taylor (con centro in x_0=0) della funzione y=e^x

 

e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n) \ \forall x\in\mathbb{R}

 

 


 

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