Mantissa

La mantissa mant(x), detta anche parte frazionaria, è una funzione definita come differenza tra x e la parte intera di x. Essa associa zero ad ogni numero intero, ad un numero decimale positivo la sua parte decimale e ad un numero decimale negativo la parte decimale complementare.

 

La protagonista di questa lezione è la funzione mantissa (o parte frazionaria). Vedremo prima di tutto la definizione di mantissa di un numero, seguita a ruota dalle sue più importanti proprietà analitiche e dal suo grafico. In buona sostanza, più che una lezione è una sorta di carta di identità della mantissa.

 

Mantissa di un numero reale

 

Intuitivamente la mantissa o parte frazionaria di un numero reale x è la differenza tra x la sua parte intera. Esistono diversi simboli che indicano la parte frazionaria:

 

M(x)\ \ \ \ \ \mbox{mant}(x)\ \ \ \ \ \left\{x\right\}\ \ \ \ \ \mbox{frac}(x)

 

In termini matematici

 

M(x)=x-[x]\quad\forall x\in\mathbb{R}

 

dove [x] è la funzione parte intera.

 

Ad esempio, la mantissa del numero -0.43 è

 

M(-0.43)=-0.43+1=0.57

 

Proprietà della mantissa

 

Sia x un numero reale. La mantissa di x soddisfa le seguenti proprietà

 

 

1) La mantissa di x è un numero compreso tra 0 e 1

 

0\le M(x)<1

 

 

2) La mantissa di x è zero se e solo se x è un numero relativo

 

M(x)=0\iff x\in\mathbb{Z}

 

 

3) Per ogni x reale vale la relazione

 

M(x)+M(-x)=\begin{cases}0&\mbox{ se }x\in\mathbb{Z}\\ 1&\mbox{ se }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\end{cases}

 

ossia la somma tra la mantissa di un numero e la mantissa di suo opposto è zero se il numero è intero, 1 altrimenti.

 

 

4) La mantissa è idempotente, vale a dire

 

M(M(x))=M(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}

 

Funzione mantissa

 

Ad ogni numero reale x la mantissa associa un altro numero reale y compreso tra 0 ed 1, definito come y=x-[x], e a conti fatti essa è una particolare funzione reale di variabile reale

 

\begin{matrix}M:&\mathbb{R}&\longrightarrow& [0,1)\\ &x&\longmapsto& y=x-[x]\end{matrix}

 

Grafico della funzione mantissa

 

Mantissa

 

Proprietà della funzione mantissa

 

Qui di seguito riportiamo le principali proprietà analitiche della funzione mantissa.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=\mathbb{R}=(-\infty, \infty).

 

 

2) È una funzione né pari né dispari.

 

 

3) Immagine: Im(f)=[0, 1), proprio per questo motivo la mantissa è una funzione limitata.

 

 

4) Periodicità: funzione periodica di periodo T=1.

 

 

5) Monotonia: strettamente crescente su tutti gli intervalli del tipo [a, a+1) con a\in\mathbb{Z}, ossia per tutti i valori reali esclusi i numeri interi.

 

 

6) Convessità: non è globalmente convessa né globalmente concava mentre è sia convessa che concava in tutti gli intervalli del tipo [a, a+1)\mbox{ con }a\in\mathbb{Z}.

 

 

7) Continuità: continua su \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}. Presenta infiniti punti di discontinuità di prima specie: x=z_0 con z_0\in\mathbb{Z}. Infatti, fissato z_0 intero, si ha

 

\lim_{x\to z_0^{-}} M(x)=1\mbox{ mentre }\lim_{x\to z_0^{+}}M(x)=0

 

 

8) Derivabilità: derivabile in tutto \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}.

 

 

9) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \not\exists\lim_{x\to -\infty}M(x)\\ \\ \not\exists\lim_{x\to+\infty}M(x)

 

 

10) Derivata:

 

\frac{d}{dx} M(x)=1\quad\forall x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}

 

 


 

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Lezione precedente


Tags: lezione di riepilogo con definizione, grafico, proprietà e caratteristiche analitiche fondamentali della funzione mantissa di x, tra cui: il dominio, la monotonia, i limiti agli estremi e derivata.