Parte intera

La parte intera, detta anche funzione floor ed indicata con [x], è una funzione che associa ad ogni numero intero il numero stesso e ad ogni numero decimale l'intero precedente.

 

In questo articolo vedremo quali sono la definizione e le proprietà fondamentali della parte intera di un numero, dopodiché introdurremo la funzione parte intera, elencheremo le sue caratteristiche analitiche e ne tracceremo il grafico.

 

Parte intera di un numero reale

 

Sia x un numero reale. La parte intera di x è definita come il più grande numero intero minore o al più uguale ad x. Tutto ciò, in formule, diventa

 

[x]:=\max\left\{k\in\mathbb{Z}: k\le x\right\}\quad\forall x\in (-\infty, +\infty)

 

Solitamente viene utilizzato uno tra i seguenti simboli per indicare la parte intera di un numero:

 

[x]\ \ \ \ \ \mbox{Floor}(x)\ \ \ \ \ \lfloor x\rfloor\ \ \ \ \ \mbox{int}(x)

 

Proprietà della parte intera

 

 Sia x un numero reale. La parte intera di x soddisfa le seguenti proprietà:

 

 

0) la parte intera di x coincide con x se e solo se x è un numero intero

 

[x]=x\mbox{ se e solo se }x\in\mathbb{Z}

 

 

1) x è maggiore o uguale della sua parte intera e minore della sua parte intera più 1.

 

[x]\le x<[x]+1

 

 

2) Per ogni numero intero k vale l'uguaglianza

 

[x+k]=k+[x]\quad\forall k\in\mathbb{Z}\mbox{ e }\forall x\in\mathbb{R}

 

 

3) Per ogni numero x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z} sussiste l'uguaglianza

 

[-x]=-[x]-1\quad\forall x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}

 

 

4) La parte intera è idempotente

 

[[x]]=[x]\quad\forall x\in\mathbb{R}

 

 

5) La mantissa di x è definita tramite l'uso della parte intera

 

\left\{x\right\}=x-[x]\quad\forall x\in\mathbb{R}

 

Funzione parte intera

 

Da come è stata definita, la parte intera rispetta la definizione di funzione, infatti ad ogni numero reale x, essa associa un unico valore. Si può quindi parlare di funzione parte intera

 

Grafico della funzione parte intera

 

y=[x]

 

Parte intera

 

Proprietà della funzione parte intera di x

 

Elenchiamo le proprietà analitiche della funzione parte intera.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty, +\infty).

 

 

2) Funzione illimitata con immagine Im(f)=\mathbb{Z}.

 

 

3) Monotonia: monotona crescente in tutto il dominio.

 

 

4) Continuità: continua in \mathbb{R}-\mathbb{Z}, ossia per tutti i numeri reali esclusi i numeri interi.

 

 

5) Discontinuità: tutti i numeri interi sono punti di discontinuità a salto, infatti fissato z_0\in\mathbb{Z} si ha che

 

\lim_{x\to z_0^{+}}[x]=z_0\mbox{ mentre }\lim_{x\to z_0^{-}}[x]=z_0-1

 

 

6) Derivabilità: derivabile su tutto \mathbb{R}-\mathbb{Z}.

 

 

7) Limiti agli estremi:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}[x]=-\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}[x]=+\infty

 

 

8) Derivata:

 

\frac{d}{dx} [x]= 0\quad\forall x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}

 

 


 

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