Funzione identità y=x

La funzione identità è quel particolare tipo di funzione che associa ad ogni x la x stessa. Per definizione, come suggerisce il nome stesso, la funzione identità è quella funzione che associa ad ogni elemento del dominio lo stesso elemento nel codominio.

 

Qui di seguito vediamo il grafico e le proprietà della funzione identità, la quale è definita dall'espressione analitica y=x o meglio

 

f(x)=x

 

Spesso e volentieri però la funzione identità si definisce su un insieme che non necessariamente coincide con \mathbb{R}. Detto X tale insieme di definizione, la funzione identica si indica con la scrittura \mbox{Id}_X e, per come è stata definita, è quella funzione che ha come codominio lo stesso insieme X ed è tale che, ad ogni elemento x \mbox{ di } X associa x stesso. In simboli:

 

\mbox{Id}_{X}: X \to X, \ x\in X \mapsto \mbox{Id}_{X}(x)=x

 

 

Grafico della funzione identità

 

Considerando come dominio e codominio l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali, il grafico della funzione identica coincide con la bisettrice del primo e terzo quadrante.

 

 

Funzione identica

 

 

Proprietà della funzione identità

 

Vediamo ora le principali proprietà analitiche della funzione identità considerando come dominio e codominio l'insieme dei numeri reali.

 

 

1) Dominio: Dom(f)=(-\infty,+\infty).

 

 

2) È una funzione dispari.

 

 

3) Funzione illimitata con immagine Im(f)=\mathbb{R}.

 

 

4) Funzione crescente strettamente su tutto il dominio.

 

 

5) Continua su tutto \mathbb{R}, derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

 

6) Limiti agli estremi del dominio:

 

\\ \lim_{x\to -\infty}{x}=-\infty\\ \\ \lim_{x\to +\infty}{x}=+\infty

 

 

7) Derivata di x:

 

\frac{d}{dx}[x]=1

 

 

8) Integrale di x:

 

\int{xdx}=\frac{x^2}{2}+c

 

 


 

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