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Archi associati

Saper riconoscere e rappresentare gli archi associati ci permette di calcolare facilmente seno e coseno di angoli particolari. In questa lezione elenchiamo e dimostriamo le formule sugli archi associati, che ci permettono di valutare velocemente le principali funzioni goniometriche in corrispondenza di specifiche somme e differenze di angoli.

 

Se hai fretta, puoi consultare il formulario con la tabella sugli angoli associati, ma se vuoi capire e non dipendere dalle formule...Continua la lettura! Wink

 

Formule per gli archi associati

 

Con archi associati ad un'angolo \alpha intendiamo somme e differenze di tale angolo con i principali angoli della circonferenza goniometrica: \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi. Elenchiamoli:

 

\frac{\pi}{2}+\alpha

 

\frac{\pi}{2}-\alpha

 

\pi-\alpha

 

\frac{3}{2}\pi+\alpha

 

\frac{3}{2}\pi-\alpha

 

2\pi-\alpha=-\alpha 

 

Riportiamo tutti questi angoli sulla circonferenza goniometrica:

 

 

Tutti gli archi associati

 

 

Il nome archi associati (o angoli associati) deriva dal fatto, come vedete nella figura, che stiamo considerando, fissato un angolo tutti i possibili angoli ottenuti come somma o differenza dell'angolo di partenza con gli angoli notevoli della circonferenza. Esaminiamo un caso alla volta.

 

Archi associati del tipo \frac{\pi}{2}+\alpha

 

Sulla circonferenza goniometrica abbiamo:

 

 

Archi associati della forma Pi greco mezzi + angolo

 

 

Evidenziamo il valore del seno e del coseno di α:

 

 

Seno di pi greco mezzi + angolo

 

 

Concentriamoci su α: il seno è in rosso e il coseno è in verde.

 

Se spostiamo l'attenzione su π/2+α vediamo che il suo coseno (il segmento opposto all'angolo, in rosso), coincide proprio con il seno di α, mentre il seno di π/2+α (in verde) coincide con il coseno di α.

 

L'unica cosa a cui dobbiamo prestare attenzione è che il coseno di π/2+α è negativo, in simboli avremo:

 

\sin{\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\cos{(\alpha)}

 

\cos{\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=-\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \frac{\pi}{2}-\alpha

  

Procediamo come prima:

 

 

Arco associato Pi greco mezzi - angolo

 

 

In questo caso si ha:

 

\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\cos{(\alpha)}

 

\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \pi+\alpha

 

Spostiamoci all'altezza di π, abbiamo

 

 

Pi greco + angolo

 

 

\sin{\pi+\alpha)}=-\sin{(\alpha)}

 

\cos{(\pi+\alpha)}=-\cos{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \pi-\alpha

 

Sulla circonferenza goniometrica

 

 

Pi greco - angolo

 

 

\sin{\pi-\alpha)}=\sin{(\alpha)}

 

\cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{(\alpha)}

  

Archi associati del tipo \frac{3}{2}\pi+\alpha

 

Procediamo di 45° sulla circonferenza goniometrica e ripetiamo lo stesso ragionamento:

 

 

Tre mezzi pi greco + angolo

 

 

\sin{\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)}=-\cos{(\alpha)}

 

\cos{\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)}=\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \frac{3}{2}\pi-\alpha

 

 

Tre mezzi pi greco - angolo

 

\sin{\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)}=-\cos{(\alpha)}

 

\cos{\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)}=-\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo 2\pi-\alpha=-\alpha

 

Ultimo passaggio:

 

Due pi greco - angolo

 

 

\sin{(-\alpha)}=-\sin{(\alpha)}

 

\cos{(-\alpha)}=\cos{(\alpha)}

 

 


 

Se qualcosa non fosse chiaro prova a cercare le risposte ai tuoi dubbi con l'apposita barra di ricerca, e sappi che puoi sempre chiedere aiuto a tutti i membri della Community e allo Staff nel Forum.

 

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Tags: rappresentare gli archi associati nella circonferenza goniometrica per valutare le principali funzioni goniometriche in corrispondenza degli angoli associati.

 

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