Archi associati

Con l'espressione archi associati si indica un insieme di formule che permettono di semplificare il calcolo delle funzioni goniometriche, riducendo determinati tipi di angoli agli archi associati nel primo quadrante.


Saper riconoscere e rappresentare gli archi associati ci permette di calcolare facilmente seno e coseno di angoli particolari. In questa lezione elenchiamo e dimostriamo le formule sugli archi associati, che ci permettono di valutare velocemente le principali funzioni goniometriche in corrispondenza di specifiche somme e differenze di angoli.

 

Se hai fretta, puoi consultare il formulario con la tabella sugli angoli associati, ma se vuoi capire e non dipendere dalle formule... Continua la lettura! :)

 

Formule per gli archi associati

 

Con archi associati ad un'angolo \alpha intendiamo somme e differenze di tale angolo con i principali angoli della circonferenza goniometrica: \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi. Elenchiamoli:

 

\frac{\pi}{2}+\alpha\ ;\ \frac{\pi}{2}-\alpha\ ;\ \pi-\alpha\ ;\ \frac{3}{2}\pi+\alpha\ ;\ \frac{3}{2}\pi-\alpha\ ;\ 2\pi-\alpha=-\alpha 

 

Riportiamo tutti questi angoli sulla circonferenza goniometrica:

 

 

Tutti gli archi associati

 

 

Il nome archi associati (o angoli associati) deriva dal fatto, come vedete nella figura, che stiamo considerando, fissato un angolo tutti i possibili angoli ottenuti come somma o differenza dell'angolo di partenza con gli angoli notevoli della circonferenza. Esaminiamo un caso alla volta.

 

Archi associati del tipo \frac{\pi}{2}+\alpha

 

Sulla circonferenza goniometrica abbiamo:

 

 

Archi associati della forma Pi greco mezzi + angolo

 

 

Evidenziamo il valore del seno e del coseno di α:

 

 

Seno di pi greco mezzi + angolo

 

 

Concentriamoci su α: il seno è in rosso e il coseno è in verde.

 

Se spostiamo l'attenzione su π/2+α vediamo che il suo coseno (il segmento opposto all'angolo, in rosso), coincide proprio con il seno di α, mentre il seno di π/2+α (in verde) coincide con il coseno di α.

 

L'unica cosa a cui dobbiamo prestare attenzione è che il coseno di π/2+α è negativo, in simboli avremo:

 

\\ \sin{\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\cos{(\alpha)}\\ \\ \cos{\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=-\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \frac{\pi}{2}-\alpha

  

Procediamo come prima:

 

 

Arco associato Pi greco mezzi - angolo

 

 

In questo caso si ha:

 

\\ \sin{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\cos{(\alpha)}\\ \\ \cos{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \pi+\alpha

 

Spostiamoci all'altezza di π, abbiamo

 

 

Pi greco + angolo

 

 

\\ \sin{(\pi+\alpha)}=-\sin{(\alpha)}\\ \\ \cos{(\pi+\alpha)}=-\cos{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \pi-\alpha

 

Sulla circonferenza goniometrica

 

 

Pi greco - angolo

 

 

\\ \sin{(\pi-\alpha)}=\sin{(\alpha)}\\ \\ \cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{(\alpha)}

  

Archi associati del tipo \frac{3}{2}\pi+\alpha

 

Procediamo di 45° sulla circonferenza goniometrica e ripetiamo lo stesso ragionamento:

 

 

Tre mezzi pi greco + angolo

 

 

\\ \sin{\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)}=-\cos{(\alpha)}\\ \\ \cos{\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha\right)}=\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo \frac{3}{2}\pi-\alpha

 

 

Tre mezzi pi greco - angolo

 

\\ \sin{\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)}=-\cos{(\alpha)}\\ \\ \cos{\left(\frac{3}{2}\pi-\alpha\right)}=-\sin{(\alpha)}

 

Archi associati del tipo 2\pi-\alpha=-\alpha

 

Ultimo passaggio:

 

Due pi greco - angolo

 

 

\\ \sin{(-\alpha)}=-\sin{(\alpha)}\\ \\ \cos{(-\alpha)}=\cos{(\alpha)}

 

 


 

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\alpha

 

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Tags: rappresentare gli archi associati nella circonferenza goniometrica per valutare le principali funzioni goniometriche in corrispondenza degli angoli associati.