Rappresentazione degli archi associati nella circonferenza goniometrica

Analisi Matematica - Funzioni Elementari, grafici e proprietà

Saper riconoscere gli archi associati e saperli rappresentare ci permette di calcolare facilmente il seno e il coseno di angoli particolari, e di valutare velocemente le principali funzioni goniometriche in corrispondenza di specifiche somme e differenze di angoli. Se hai fretta, puoi trovare tutto quello che serve nel formulario sugli angoli associati, ma se vuoi capire e non dipendere dalle formule...Continua la lettura!

$\frac{\pi}{2}+\alpha$

$\frac{\pi}{2}-\alpha$

$\pi-\alpha$

$\frac{3}{2}\pi+\alpha$

$\frac{3}{2}\pi-\alpha$

$2\pi-\alpha=-\alpha$

Riportiamo tutti questi angoli sulla circonferenza goniometrica:

Angoli o archi associati

Il nome archi o angoli associati deriva dal fatto, come vedete nella figura, che stiamo considerando, fissato un angolo tutti i possibili angoli ottenuti come somma o differenza dell'angolo di partenza con gli angoli notevoli della circonferenza.

Esaminiamo un caso alla volta:

Formule per $\frac{\pi}{2}+\alpha$

Sulla circonferenza goniometrica abbiamo:

Pi greco mezzi + angolo

Evidenziamo il valore del seno e del coseno di α:

seno di pi greco mezzi + angolo

Concentriamoci su α: il seno è in rosso e il coseno è in verde.
Se spostate l'attenzione su π/2+α vedete che il suo coseno (il segmento opposto all'angolo), coincide proprio con il seno di α, mentre il seno di π/2+α coincide con il coseno di α. L'unica cosa a cui dobbiamo prestare attenzione è che il coseno di π/2+α è negativo, in simboli avremo:

$\sin{(\frac{\pi}{2}+\alpha)}=\cos{(\alpha)}$

$\cos{(\frac{\pi}{2}+\alpha)}=-\sin{(\alpha)}$

Formule per $\frac{\pi}{2}-\alpha$

Procediamo come prima:

pi greco mezzi - angolo

In questo caso si ha:

$\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\cos{(\alpha)}$

$\cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\sin{(\alpha)}$

Formule per $\pi+\alpha$

Spostiamoci all'altezza di π, abbiamo

Pi greco + angolo

$\sin{\pi+\alpha)}=-\sin{(\alpha)}$

$\cos{(\pi+\alpha)}=-\cos{(\alpha)}$

Formule per $\pi-\alpha$

Sulla circonferenza goniometrica:

Pi greco - angolo

$\sin{\pi-\alpha)}=\sin{(\alpha)}$

$\cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{(\alpha)}$

Formule per $\frac{3}{2}\pi+\alpha$

Procediamo di 45° sulla circonferenza goniometrica e ripetiamo lo stesso ragionamento:

Tre mezzi pi greco + angolo

$\sin{(\frac{3}{2}\pi+\alpha)}=-\cos{(\alpha)}$

$\cos{(\frac{3}{2}\pi+\alpha)}=\sin{(\alpha)}$

Formule per $\frac{3}{2}\pi-\alpha$

Tre mezzi pi greco - angolo

$\sin{(\frac{3}{2}\pi-\alpha)}=-\cos{(\alpha)}$

$\cos{(\frac{3}{2}\pi-\alpha)}=-\sin{(\alpha)}$

Formule per $2\pi-\alpha=-\alpha$

Ultimo passaggio:

Due pi greco - angolo

$\sin{(-\alpha)}=-\sin{(\alpha)}$

$\cos{(-\alpha)}=\cos{(\alpha)}$

Se qualcosa non fosse chiaro prova a cercare le risposte ai tuoi dubbi con l'apposita barra di ricerca, e sappi che puoi sempre chiedere aiuto a tutti i membri della Community e allo Staff nel Forum.

$\alpha$

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Tags: rappresentare gli archi associati nella circonferenza goniometrica per valutare le principali funzioni goniometriche in corrispondenza degli angoli associati.

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