Secante e cosecante

Secante e cosecante, indicate con sec(α) e csc(α), sono due funzioni goniometriche definite a partire dalla circonferenza goniometrica e sono, rispettivamente, il reciproco della funzione coseno ed il reciproco della funzione seno.

 

In questa lezione daremo le definizioni di secante e cosecante di un angolo partendo dalla circonferenza goniometrica, per poi metterne in luce le proprietà e mostrarne i grafici.

 

Inoltre, partendo proprio dalla circonferenza goniometrica e sfruttando note proprietà dei triangoli vedremo come ricavare secante e cosecante di un angolo in termini di seno e coseno.

 

Rappresentazione e definizione di secante e cosecante

 

Per ricavare la definizione di secante e cosecante disegniamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica, facendo coincidere il vertice dell'angolo con il centro della circonferenza ed il suo primo lato col semiasse positivo delle ascisse.

 

 

Angolo nella circonferenza goniometrica

 

 

Indicato con P il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza goniometrica, sia t la retta tangente la circonferenza nel punto P. Tale retta intersecherà gli assi coordinati in due punti; sia S il punto di intersezione tra le retta t e l'asse x e chiamiamo C il punto d'incontro tra tale retta e l'asse delle ordinate.

 

 

Secante e cosecante

 

Definizione di secante di un angolo

 

Dato un angolo α sulla circonferenza goniometrica, si dice secante dell'angolo α l'ascissa del punto S ottenuto dall'intersezione tra l'asse delle ascisse e la retta tangente alla circonferenza nel punto P, dove P è il punto d'incontro tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza.

 

\sec(\alpha)=x_S

 

In riferimento alla figura precedente, possiamo inoltre definire la secante di α come la misura con segno del segmento OS; nello specifico intenderemo tale misura positiva se il segmento OS giace sul semiasse positivo delle x, negativa se il segmento OS appartiene al semiasse negativo delle ascisse.

 

Infine possiamo osservare che se il punto P giace sull'asse y, ossia se α=90° oppure α=270°, allora la retta t non ha punti di intersezione con l'asse x, essendo ad esso parallela. Pertanto, come avremo modo di approfondire tra poco, per α=90° e per α=270° la secante di α non è definita.

 

Definizione di secante con il coseno

 

Come anticipato inizialmente si può definire la secante di un angolo come il reciproco del coseno dello stesso angolo. In formule:

 

\mbox{sec}(\alpha)=\frac{1}{\cos(\alpha)}, \ \mbox{ per ogni } \alpha \neq 90^{\circ}+k180^{\circ},\ k\in\mathbb{Z}

 

Per capire da dove discende tale formula disegniamo un angolo α (con α≠90° e α≠270°) sulla circonferenza goniometrica. Detto P il punto d'incontro tra il secondo lato e la circonferenza, sia t la retta tangente la circonferenza nel punto P. Indichiamo poi con S il punto d'incontro tra tale retta e l'asse x e siano Q ed R le proiezioni del punto P sugli assi coordinati.

 

 

Definizione di secante

 

 

Consideriamo ora i due triangoli di vertici OPR e OPS:

 

 

Triangoli definizione secante

 

 

Essi sono triangoli simili per il primo criterio di similitudine, infatti hanno tutti e tre gli angoli congruenti. Nello specifico:

 

- l'angolo α è in comune;

 

- gli angoli \widehat{ORP} \mbox{ e } \widehat{OPS} sono entrambi angoli retti;

 

- la somma degli angoli interni di un triangolo, qualsiasi esso sia, è pari a 180°. Quindi anche i due angoli rimanenti sono uguali.

 

Poiché i lati di due triangoli simili sono in proporzione, possiamo scrivere la seguente relazione tra lati omologhi:

 

\overline{OS}:\overline{OP}=\overline{OP}:\overline{OR}

 

A sinistra dell'uguale c'è il rapporto tra ipotenusa e cateto compreso tra l'angolo α e l'angolo retto del triangolo OPS, mentre a destra dell'uguale c'è il rapporto tra ipotenusa e stesso cateto del triangolo OPR.

 

Sappiamo che

 

\overline{OS}=\sec(\alpha), \quad \overline{OR}=\cos(\alpha), \quad \overline{OP}=1

 

infatti OP è un raggio della circonferenza goniometrica.

 

Sostituendo nella proporzione otteniamo

 

\sec(\alpha):1=1:\cos(\alpha)

 

Scrivendo tale proporzione sotto forma di rapporti si ricava la secante dell'angolo α in termini del coseno dello stesso angolo:

 

\sec(\alpha)=\frac{1}{\cos(\alpha)}

 

La funzione secante è quindi la reciproca della funzione coseno.

 

Definizione di cosecante di un angolo

 

Partendo ancora una volta da un angolo α sulla circonferenza goniometrica, sia P il punto d'incontro tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza, e t la retta tangente la circonferenza in P. Detto C il punto di intersezione tra la retta t e l'asse y, si dice cosecante dell'angolo α l'ordinata del punto C:

 

\csc(\alpha)=y_C

 

Come nel caso della secante possiamo definire la cosecante di α anche come la misura con segno del segmento OC, dove tale misura s'intenderà positiva se il segmento OC giace sul semiasse positivo delle y, negativa se OC appartiene al semiasse negativo delle ordinate.

 

Infine osserviamo che se il punto C giace sull'asse x, ossia se α=0°=360° oppure α=180°, allora la retta t non ha punti di intersezione con l'asse y. Pertanto, per tali valori dell'angolo, non è definita la cosecante di α.

 

Definizione di cosecante con il seno

 

La cosecante di un angolo si può definire come il reciproco del seno dello stesso angolo, ossia come 1 su seno. In formule:

 

\mbox{csc}(\alpha)=\frac{1}{\sin(\alpha)}, \ \mbox{ per ogni } \alpha \neq k180^{\circ},\ k\in\mathbb{Z}

 

Per ricavare tale formula disegniamo un angolo α (con α≠0°, α≠360° e α≠180°) sulla circonferenza goniometrica e come sempre indichiamo con P il punto d'incontro tra il secondo lato e la circonferenza, con t la retta tangente la circonferenza nel punto P, con C il punto d'incontro tra tale retta e l'asse y e con Q ed R le proiezioni del punto P sugli assi coordinati.

 

 

Definizione di cosecante

 

 

Fatto ciò, consideriamo i due triangoli rettangoli OPC e OPQ. Essi sono simili in quanto hanno tutti e tre gli angoli uguali (lasciamo a voi il compito di verificarlo).

 

In quanto simili tali triangoli hanno i lati in proporzione, ossia:

 

\overline{OC}:\overline{OP}=\overline{OP}:\overline{OQ}

  

Dal momento che

 

\overline{OC}=\csc(\alpha), \quad \overline{OQ}=\sin(\alpha), \quad \overline{OP}=1

 

scrivendo la proporzione sotto forma di rapporto e sostituendo otteniamo

 

\csc(\alpha)=\frac{1}{\sin(\alpha)}

 

che è proprio la definizione di cosecante come funzione reciproca della funzione seno.

 

Principali valori di secante e cosecante

 

Facciamo ora qualche piccolo esempio di applicazione delle definizioni di secante e cosecante approfittandone per capire come ricavare secante e cosecante degli angoli notevoli.

 

Le definizioni date poco fa in termini di seno e coseno

 

\sec(\alpha)=\frac{1}{\cos(\alpha)}, \quad \quad \csc(\alpha)=\frac{1}{\sin(\alpha)}

 

ci permettono di non dover imparare a memoria i valori notevoli di secante e cosecante, ma di poterli ricavare direttamente dai valori noti di seno e coseno.

 

 

Esempio

 

Se α=π/3=60° allora, ricordando che il seno di 60 vale √3/2 e che il coseno di 60 è uguale ad 1/2, possiamo ricavare immediatamente il valore della secante e della cosecante di 60 semplicemente usando le definizioni viste poc'anzi:

 

\\ \sec\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tan(60^{\circ})=\frac{1}{\cos(60^{\circ})}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2 \\ \\ \\ \csc\left(\frac{\pi}{3}\right)=\csc(60^{\circ})=\frac{1}{\sin(30^{\circ})}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}

 

Nell'ultimo passaggio abbiamo effettuato una razionalizzazione del risultato.

 

 


 

Se siete alla ricerca di una tabella con i valori delle funzioni goniometriche - click!

 


 

Perché secante e cosecante non sono definite per certi angoli?

 

Giunti a questo punto dovrebbe essere chiamo che le definizioni di secante e cosecante si basano su dei rapporti

 

\sec(\alpha)=\frac{1}{\cos(\alpha)}, \quad \quad \csc(\alpha)=\frac{1}{\sin(\alpha)}

 

Poiché non si può dividere per zero, ne consegue che secante e cosecante non sono definite per i valori dell'angolo che annullano il denominatore. Nello specifico, poiché il coseno di α si annulla per \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi, allora la secante di α non è definita per tali valori dell'angolo.

 

In modo del tutto analogo, visto che il seno di un angolo α si annulla per \alpha=k\pi allora la cosecante non è definita proprio per \alpha=k\pi.

 

In formule

 

\\ \sec(\alpha)=\frac{1}{\cos(\alpha)} \ \mbox{ per ogni } \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \mbox{ con } k \in \mathbb{Z} \\ \\ \\ \csc(\alpha)=\frac{1}{\sin(\alpha)} \ \mbox{ per ogni } \alpha \neq k\pi, \mbox{ con } k \in \mathbb{Z}

 

Le funzioni secante e cosecante

 

Chi si affaccia per la prima volta allo studio della Trigonometria deve prendere per buoni i grafici delle funzioni secante e cosecante che disegneremo tra poco, e che saranno utili a verificare le informazioni raccolte finora su queste due funzioni goniometriche.

 

Prima di tracciare il grafico di secante e cosecante facciamo, tuttavia, un piccolo riepilogo.

 

 

A) La funzione secante non è definita per \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi, mentre la funzione cosecante non è definita per \alpha=k\pi, con k intero relativo. Pertanto il dominio delle due funzioni è:

 

\\ \mbox{Dom}[\sec] = \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}, \ k \in \mathbb{Z}\\ \\ \\ \mbox{Dom}[\csc] = \mathbb{R}-\left\{k\pi\right\}, \ k \in \mathbb{Z}

 

Entrambe le funzioni hanno invece come immagine (-\infty, -1] \cup [1,+\infty), ossia l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali privato dell'intervallo aperto (-1,1).

 

 

B) Chi ha già confidenza con i limiti (argomento di quinta superiore) può verificare che

 

\\ \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^+}\sec(x)=-\infty \quad \quad \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-}\sec(x)=+\infty \\ \\ \\  \lim_{x\to \left(\frac{3}{2}\pi\right)^+}\sec(x)=+\infty \quad \quad \lim_{x\to \left(\frac{3}{2}\pi\right)^-}\sec(x)=-\infty \\ \\ \\ \lim_{x\to 0^+}\csc(x)=+\infty \quad \quad \quad \quad \lim_{x\to 0^-}\csc(x)=-\infty \\ \\ \\  \lim_{x\to \pi^+}\csc(x)=-\infty \quad \quad \quad \quad \lim_{x\to \pi^-}\csc(x)=+\infty

 

 

C) Le funzioni secante e cosecante sono funzioni periodiche di periodo 2π. Fissato cioè un angolo α compreso tra 0 e 2π, se a tale angolo sommiamo o sottraiamo 2π otterremo un nuovo angolo le cui secante e cosecante coincidono con quella dell'angolo α. In simboli scriveremo

 

\\ \sec(\alpha)=\sec(\alpha+2k\pi) \ \mbox{ per qualsiasi } k \in \mathbb{Z} \\ \\ \csc(\alpha)=\csc(\alpha+2k\pi) \ \mbox{ per qualsiasi } k \in \mathbb{Z}

 

Grafico della funzione secante

 

Grafico secante

 

Per conoscere tutto quello che c'è da sapere sulla funzione secante - click!

 

Grafico della funzione cosecante

 

Grafico cosecante

 

Per leggere un riepilogo di tutte le proprietà della funzione cosecante - click!

 

 


 

Prima dei saluti di rito ci teniamo a fare un'ultima precisazione: secante e cosecante sono, rispettivamente, la funzione reciproca della funzione coseno e della funzione seno, e non vanno confuse con la funzione inversa. In caso di dubbi vi suggeriamo di approfondire la differenza tra funzione reciproca e funzione inversa.

 


 

Adesso è davvero tutto! In caso di dubbi o se siete alla ricerca di esercizi potete utilizzare la barra di ricerca interna. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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