Tangente e cotangente

Tangente e cotangente, indicate con tan(α) e cot(α), sono due funzioni trigonometriche che vengono definite sulla circonferenza goniometrica a partire dal seno e dal coseno di un angolo, e che associano a ciascun angolo un numero reale.

 

In questa lezione parleremo di tangente e cotangente di un angolo, enunciando e spiegando le definizioni per poi elencare le proprietà di cui godono queste due funzioni goniometriche e mostrarne i grafici.

 

Le definizioni di tangente e cotangente verranno date a partire dalla circonferenza goniometrica, e sfruttando gli aspetti grafici e geometrici delle definizioni ricaveremo l'espressione analitica di tangente e cotangente in funzione di seno e coseno.

 

Rappresentazione e definizione di tangente e cotangente

 

Partiamo dalla definizione di tangente e cotangente e come prima cosa disegniamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica facendo coincidere il vertice dell'angolo col centro della circonferenza ed il suo primo lato col semiasse positivo delle ascisse:

 

 

Angolo alpha nella circonferenza goniometrica

 

Definizione di tangente di un angolo

 

Dato un angolo α sulla circonferenza goniometrica consideriamo la retta t tangente la circonferenza nel punto S(1,0) e sia T il punto di intersezione tra tale retta ed il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento).

 

Come possiamo osservare nell'immagine seguente, se il secondo lato dell'angolo α cade nel primo o nel quarto quadrante, ossia se 0≤α<90° oppure 270°<α≤360°, allora è proprio il secondo lato dell'angolo ad intersecare la retta t. Se invece il secondo lato dell'angolo giace nel secondo o nel terzo quadrante, cioè se 90°<α<270°, allora sarà il suo prolungamento ad incontrare la retta t.

 

 

Tangente di un angolo sulla circonferenza goniometrica

 

 

Si definisce tangente dell'angolo α l'ordinata del punto T dato dall'intersezione tra il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento) e la retta tangente la circonferenza nel punto (1,0). In formule:

 

\tan(\alpha)=y_T

 

Come si può notare dalla figura precedente, se il secondo lato dell'angolo α cade sull'asse y, ossia se α=90° oppure α=270°, allora tale lato sarà parallelo alla retta t e quindi non vi sarà alcun punto di intersezione tra tale retta ed il lato dell'angolo. Conseguentemente, come avremo modo di approfondire nel prosieguo della lezione, per α=90° e per α=270° non è definito alcun valore della tangente.

 

Definizione di tangente con seno e coseno

 

In modo del tutto analogo e sempre partendo dalla circonferenza goniometrica si può definire la tangente di un angolo come il rapporto tra il seno ed il coseno dello stesso angolo. In formule:

 

\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}, \ \mbox{ per ogni } \alpha \neq 90^{\circ}+k180^{\circ},\ k\in\mathbb{Z}

 

Per capire da dove deriva la precedente relazione disegniamo ancora una volta un angolo α (con α≠90° e α≠270°) sulla circonferenza goniometrica, e sia t la retta tangente la circonferenza nel punto S(1,0).

 

Indichiamo con P il punto di intersezione tra il secondo lato e la circonferenza, e T l'intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la retta t. Infine chiamiamo Q ed R le proiezioni del punto P sugli assi coordinati.

 

 

Definizione di tangente di un angolo

 

 

Sappiamo che

 

\overline{OR}=\cos(\alpha), \quad \overline{OQ}=\overline{PR}=\sin(\alpha), \quad y_T=\overline{TS}=\tan(\alpha)

 

Consideriamo ora i due triangoli di vertici ORP e OST:

 

 

Triangoli nella definizione di tangente

 

 

Essi sono triangoli simili, infatti hanno i tre angoli uguali:

 

- l'angolo α è in comune,

 

- entrambi sono triangoli rettangoli;

 

- la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, dunque anche i due angoli restanti saranno uguali.

 

In particolare i lati di triangoli simili sono ordinatamente in proporzione, quindi vale la relazione seguente:

 

\frac{\overline{TS}}{\overline{OS}}=\frac{\overline{PR}}{\overline{OR}}

 

Osservando che OS è un raggio della circonferenza e ricordando che la circonferenza ha raggio unitario, si ha

 

\frac{\tan{(\alpha)}}{1}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

 

ossia

 

\tan{(\alpha)}=\frac{\sin{(\alpha)}}{\cos{(\alpha)}}

 

ed ecco che abbiamo ottenuto la definizione di tangente con seno e coseno. :)

 

Definizione di cotangente di un angolo

 

Ancora una volta, per dare la definizione di cotangente, partiamo da un angolo α sulla circonferenza goniometrica ma, questa volta, consideriamo la retta c tangente la circonferenza nel punto A(0,1). Sia C il punto di intersezione tra tale retta ed il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento).

 

Nella seguente immagine possiamo osservare che se il secondo lato dell'angolo α cade nel primo o nel secondo quadrante, ossia se 0<α<180°, allora è proprio il secondo lato dell'angolo ad intersecare la retta c. Se invece il secondo lato dell'angolo giace nel terzo o nel quarto quadrante, cioè se 180°<α<360°, allora sarà il suo prolungamento ad incontrare la retta c.

 

 

Cotangente di un angolo sulla circonferenza goniometrica

 

 

Si definisce cotangente dell'angolo α l'ascissa del punto C dato dall'intersezione tra il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento) e la retta tangente la circonferenza nel punto (0,1), ossia

 

\cot(\alpha)=x_C

 

È immediato verificare che, se il secondo lato dell'angolo α cade sull'asse x, ossia se α=0°=360° oppure α=180°, allora non vi sarà alcun punto di intersezione tra la retta c ed il secondo lato dell'angolo. Perciò, per α=0° (oppure per α=360°) e per α=180° non è definito alcun valore della cotangente.

 

Definizione di cotangente con seno e coseno

 

Come dimostreremo tra poco dimostreremo la cotangente di un angolo è data dal rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo. In formule:

 

\cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}, \ \mbox{ per ogni } \alpha \neq k180^{\circ},\ k\in\mathbb{Z}

 

Disegniamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica, con α≠180° e α≠360°, e sia c la retta tangente la circonferenza nel punto A(0,1).

 

Chiamiamo P il punto di intersezione tra il secondo lato e la circonferenza, C l'intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la retta c, Q ed R le proiezioni del punto P sugli assi y ed x.

 

 

Definizione di cotangente

 

 

Consideriamo ora i due triangoli rettangoli di vertici OAC e OQP che sono simili in quanto hanno tutti e tre gli angoli congruenti. Pertanto possiamo scrivere la seguente proporzione tra lati omologhi:

 

\frac{\overline{AC}}{\overline{OA}}=\frac{\overline{QP}}{\overline{OQ}}

 

Ora:

 

\overline{AC}=\cot(\alpha), \quad \overline{OA}=1, \quad \overline{QP}=\overline{OR}=\cos(\alpha), \quad \overline{OQ}=\sin(\alpha)

 

Sostituendo nella relazione precedente otteniamo

 

\cot{(\alpha)}=\frac{\cos{(\alpha)}}{\sin{(\alpha)}}

 

che è proprio la definizione di cotangente come rapporto tra coseno e seno.

 

Principali valori di tangente e cotangente

 

Non è necessario ricordare a memoria i valori notevoli di tangente e cotangente. Grazie alle definizioni che abbiamo dato poco fa

 

\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}, \quad \quad \cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}

 

per ricavare tangente e cotangente degli angoli notevoli è sufficiente ricordare i valori del seno e del coseno in corrispondenza di tali angoli.

 

 

Esempio

 

Se α=π/6, sapendo che il seno di 30 vale 1/2 e che il coseno di 30 vale √3/2 possiamo ricavare immediatamente il valore della tangente e della cotangente di 30 gradi:

 

\\ \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\tan(30^{\circ})=\frac{\sin(30^{\circ})}{\cos(30^{\circ})}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \\ \\ \cot\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cot(30^{\circ})=\frac{\cos(30^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}

 

 

Ad ogni modo, nella tabella qui sotto sono riportati i valori di seno, coseno, tangente e cotangente per i principali angoli espressi sia in gradi che in radianti.

 

 

\alpha\mbox{ in gradi} \alpha\mbox{ in radianti} \sin(\alpha) \cos(\alpha) \tan(\alpha) \cot(\alpha)
0^{\circ} 0 0 1 0

\not\exists

30^{\circ} \frac{\pi}{6} \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
45^{\circ} \frac{\pi}{4} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 1
60^{\circ} \frac{\pi}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}
90^{\circ} \frac{\pi}{2} 1 0 \not\exists 0
180^{\circ} \pi 0 -1 0 \not\exists
270^{\circ} \frac{3\pi}{2} -1 0 \not\exists 0
360^{\circ} 2\pi 0 1 0 \not\exists

 

 

Se vi interessa la tabella completa dei principali valori delle funzioni goniometriche - click!

 

Perché tangente e cotangente non sono definite per certi angoli?

 

Come abbiamo già accennato e come avrete certamente notato nella precedente tabella, per alcuni angoli il valore per la tangente e per la cotangente non è definito.

 

Il motivo è presto detto: le definizioni di tangente e cotangente si basano su dei rapporti

 

\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\ \ \ ;\ \ \ \cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}

 

e noi sappiamo bene che non si può dividere per zero. Dunque, tangente e cotangente non sono definite per i valori dell'angolo α che annullano il rispettivo denominatore.

 

In particolare, poiché il coseno di un angolo α si annulla per \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi allora la tangente di α non è definita per tali valori dell'angolo, ossia

 

\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \ \mbox{ per ogni } \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Allo stesso modo, visto che il seno di un angolo α si annulla per \alpha=k\pi allora

 

\cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \ \mbox{ per ogni } \alpha \neq k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

Per saperne di più: tangente di 90 gradi - click!

 

Le funzioni tangente e cotangente

 

Le informazioni raccolte finora sono il punto da cui partire per poter tracciare il grafico delle due funzioni tangente e cotangente. Facciamo un piccolo riepilogo:

 

 

A) La funzione tangente non è definita per \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi, ossia il dominio della funzione tangente è

 

\mbox{Dom}[\tan] = \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}, \ k \in \mathbb{Z}

 

Mentre la funzione cotangente ha come dominio

 

\mbox{Dom}[\cot] = \mathbb{R}-\left\{k\pi\right\}, \ k \in \mathbb{Z}

 

Entrambe le funzioni hanno invece come immagine l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali.

 

 

B) Chi ha già confidenza con i limiti (argomento di quinta superiore) saprà che

 

\\ \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^+} \tan(x)=-\infty \quad \quad \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-} \tan(x)=+\infty \\ \\ \\ \lim_{x\to 0^+}\cot(x) = +\infty \quad \quad \quad \ \ \lim_{x\to 0^-} \cot(x) = -\infty

 

 

C) Fissato un angolo α compreso tra 0 e 2π, se a tale angolo sommiamo o sottraiamo π otterremo un nuovo angolo la cui tangente e la cui cotangente coincidono con quella dell'angolo α. In simboli scriveremo

 

\\ \tan(\alpha)=\tan(\alpha+k\pi) \ \mbox{ per qualsiasi } k \in \mathbb{Z} \\ \\ \cot(\alpha)=\cot(\alpha+k\pi) \ \mbox{ per qualsiasi } k \in \mathbb{Z}

 

Da qui deduciamo che le funzioni tangente e cotangente sono funzioni periodiche di periodo π.

 

 

Naturalmente chi è agli esordi con lo studio della Trigonometria può e deve prendere tali grafici per buoni, e usarli come banco di prova per la lettura delle informazioni analitiche. Anzi: un buon esercizio prevede proprio di riconoscere tutte le proprietà che abbiamo elencato, a partire dalla definizione, semplicemente consultando il grafico.

 

Grafico della funzione tangente

 

Grafico della funzione tangente

 

Per approfondire tutte le proprietà analitiche della funzione tangente - click!

 

Grafico della funzione cotangente

 

Grafico della funzione cotangente

 

Per approfondire le varie proprietà analitiche della funzione cotangente - click!

 

 


 

È davvero tutto! In caso di necessità potete trovare tantissimi esercizi svolti e spiegati qui su YouMath, non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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