Seno e coseno

Seno e coseno, indicate con sin(α) e cos(α), sono due funzioni trigonometriche fondamentali che vengono definite a partire dalla circonferenza goniometrica, e che associano a ciascun angolo un determinato valore numerico compreso tra -1 e +1.

 

Uno dei primissimi obiettivi della Trigonometria consiste nello studio delle funzioni goniometriche, ossia particolari funzioni costruite a partire dalla circonferenza goniometrica. In questa lezione spiegheremo cosa sono seno e coseno di un angolo, ne proporremo le definizioni e presteremo particolare attenzione agli aspetti grafici e geometrici delle definizioni.

 

Inoltre, tratteremo le definizioni di seno e coseno di un angolo mettendone in luce le principali proprietà e proponendo diversi esempi. Nel corso della lezione vi rimanderemo anche ai vari approfondimenti che interessano chiunque stia effettuando un ripasso veloce. ;)

 

Rappresentazione e definizione di seno e coseno

 

Partiamo dalla definizione di seno e coseno. Consideriamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica, ossia disponiamo tale angolo in modo da far coincidere il suo vertice col centro della circonferenza ed il suo primo lato con il semiasse positivo delle x.

 

 

Angolo sulla circonferenza goniometrica per la definizione di seno e coseno

 

L'angolo in questione può essere espresso sia in gradi che in radianti, poco importa. Chiamiamo P il punto intercettato dal secondo lato dell'angolo sulla circonferenza goniometrica; tale punto si dice punto associato all'angolo α. Siano poi xP ed yP ascissa e ordinata del punto P.

 

 

Triangolo costruito su un angolo della circonferenza goniometrica

 

Definizione di seno di un angolo

 

Dato un angolo α sulla circonferenza goniometrica, si dice seno dell'angolo α l'ordinata del punto P associato ad α, ossia

 

\sin{(\alpha)}=y_P

 

In modo del tutto analogo si può definire il seno di un angolo come segue: sia P il punto associato ad un angolo α sulla circonferenza goniometrica e sia Q la proiezione del punto P sull'asse y. Si viene così a formare un triangolo rettangolo OPQ, la cui ipotenusa OP, essendo un raggio della circonferenza goniometrica, misura 1.

 

 

Definizione geometrica del seno di un angolo

 

 

Si dice seno dell'angolo α il rapporto tra il cateto OQ e l'ipotenusa OP del triangolo. In formule:

 

\sin{(\alpha)} = \frac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}=\frac{\overline{OQ}}{1}=\overline{OQ}=y_P

 

Nota bene: con la notazione \overline{OQ} si indica la misura con segno del segmento OQ. In parole povere la misura sarà positiva se tale segmento si trova sul semiasse positivo delle ordinate, negativa se giace sul semiasse negativo delle y.

 

Definizione di coseno di un angolo

 

Dato un angolo α sulla circonferenza goniometrica, si dice coseno dell'angolo α l'ascissa del punto P associato ad α.

 

\cos{(\alpha)}=x_P

 

Ancora una volta, possiamo definire il coseno di un angolo come il rapporto tra il cateto OR e l'ipotenusa OP del triangolo rettangolo OPR, dove R è la proiezione del punto P sull'asse delle ascisse.

 

 

definizione-di-coseno-di-un-angolo

 

 

\cos{(\alpha)}=\frac{\overline{OR}}{\overline{OP}}=\overline{OR}=x_P

 

poiché OP è raggio della circonferenza goniometrica.

 

Anche in questo caso con la notazione \overline{OR} s'intende la misura con segno del cateto OR che sarà positiva se tale segmento giace sul semiasse positivo, negativa se si trova sul semiasse negativo delle ascisse.

 

Esempi su seno e coseno

 

Vediamo alcuni esempi di applicazione delle definizioni e, già che ci siamo, approfittiamone per ricavare i valori di seno e coseno in corrispondenza di angoli particolari (i cosiddetti angoli notevoli). Dalle definizioni che abbiamo dato sopra si deduce facilmente che, fissato un angolo sulla circonferenza goniometrica:

 

- il seno dell'angolo è l'ordinata del punto associato all'angolo o, equivalentemente, la misura con segno della proiezione sull'asse y del secondo lato dell'angolo;

 

- il coseno dell'angolo è l'ascissa del punto associato all'angolo o, equivalentemente, la misura con segno della proiezione del secondo lato dell'angolo sull'asse x.

 

Seno e coseno nella circonferenza goniometrica

 

Grazie alle due definizioni date in precedenza possiamo calcolare facilmente il valore di seno e coseno negli angoli

 

0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi

 

Angoli notevoli

 

Se α=0 significa che il punto P è (1,0). Quindi la sua ascissa è 1, mentre quella la sua ordinata è 0; di conseguenza

 

\sin{(0)}=0\ \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ \ \cos{(0)}=1

 

Se α=π/2, allora P=(0,1). Pertanto la sua ascissa è 0, mentre la sua ordinata è 1.

 

\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=1\ \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ \ \cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=0

 

Se α=π allora P=(-1,0). Quindi la sua ascissa e la sua ordinata valgono, rispettivamente, -1 e 0.

 

\sin{\left(\pi\right)}=0\ \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ \ \cos{\left(\pi\right)}=-1

 

Se α=3π/2 allora P=(0,-1). Allora l'ascissa di P è 0, mentre l'ordinata è -1.

 

\sin{\left(\frac{3\pi}{2}\right)}=-1\ \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ \ \cos{\left(\frac{3\pi}{2}\right)}=0

 

Infine si noti che per α=2π i valori assunti da seno e coseno sono esattamente gli stessi che assumevano in α=0.

 

\sin(2\pi)=\sin(0)=0\ \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ \ \cos(2\pi)=\cos(0)=1

 

 

Ora dobbiamo studiare i valori di seno e coseno per altri tre angoli particolarmente importanti, i quali capitano spessissimo negli esercizi, per cui è bene impararli sin da ora:

 

\alpha=\frac{\pi}{6},\ \alpha=\frac{\pi}{4},\ \alpha=\frac{\pi}{3}

 

Poiché questi angoli corrispondono rispettivamente a 30°, 45° e 60°, e ricordando che l'ipotenusa del triangolo rettangolo nella circonferenza goniometrica vale 1, ci torneranno utili le formule per i triangoli rettangoli con angoli notevoli (30°-60° e 45°-45°)

 

1) α=π/6

 

Pi Greco sesti   Seno e coseno di Pi Greco sesti

 

Grazie alle suddette formule sappiamo che la proiezione sull'asse x misura √3/2 mentre quella sull'asse y misura 1/2

 

\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{1}{2}\ \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ \ \cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

 

2) α=π/4

 

Pi Greco quarti sulla circonferenza goniometrica   Seno e coseno di Pi Greco quarti   

 

In questo caso il triangolo rettangolo è anche un triangolo isoscele, ed i suoi cateti misurano 1/√2. Di solito si preferisce ricorrere al corrispondente valore razionalizzato √2/2

 

\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ \ \cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}

 

Se l'angolo è ampio 45°, seno e coseno coincidono!

 

 

3) α=π/3

 

Pi Greco terzi   Seno e coseno di Pi Greco terzi

 

Qui la situazione è opposta rispetto al caso α=π/6

 

\sin{\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ \ \cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{1}{2}

 

e si noti che i valori di seno e coseno sono esattamente invertiti per α=π/3 e α=π/6.

 

 


 

Se vi serve una tabella con i valori notevoli assunti dal seno e dal coseno in corrispondenza dei vari angoli, potete consultare la tabella con i valori notevoli di seno e coseno. ;)

 

Più in generale, sappiate che gli unici valori da ricordare sono quelli che abbiamo ricavato qui sopra. Come vedremo nelle lezioni di Trigonometria, ci sono diverse formule che permettono di calcolare velocemente tutti i valori di seno e coseno in corrispondenza degli angoli che ricadono negli altri quadranti.

 


 

Le funzioni seno e coseno

 

È possibile dare una rappresentazione analitica (tracciare un grafico) delle funzioni seno e coseno. Elenchiamo le informazioni che abbiamo raccolto fino ad ora.

 

 

A) Noi abbiamo considerato solamente angoli compresi nell'intervallo [0,2\pi]. Tanto basta: se sommiamo o sottraiamo un multiplo di 2π ad un angolo α compreso tra 0 e 2π, abbiamo un diverso valore numerico ma un angolo che "fisicamente" coincide con α sulla circonferenza goniometrica.

 

Da qui deduciamo che le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche di periodo 2π

 

\\ \sin(\alpha)=\sin(\alpha+2k\pi)\ \ \ \mbox{per qualsiasi }k\in\mathbb{Z}\\ \\ \cos(\alpha)=\cos(\alpha+2k\pi)\ \ \ \mbox{per qualsiasi }k\in\mathbb{Z}

 

dove k\in\mathbb{Z} indica un qualsiasi intero relativo.

 

In parole povere i valori di seno e coseno si ripetono se continuiamo a girare sulla circonferenza.

 

 

B) Le due funzioni hanno valori sempre compresi tra -1 e 1

 

\\ -1\leq \sin(x)\leq +1\\ \\ -1\leq \cos(x)\leq +1

 

e assumono tutti i valori compresi tra -1 e 1

 

\\ \forall y\in [-1,1]\ \exists x\in [0,2\pi)\ \mbox{tale che }y=\sin(x)\\ \\ \forall y\in [-1,1]\ \exists x\in [0,2\pi)\ \mbox{tale che }y=\cos(x)

 

In breve, l'immagine delle funzioni seno e coseno è l'intervallo [-1,1] dei numeri reali.

 

Grafico della funzione seno

 

Grafico della funzione seno

 

Grafico della funzione coseno

 

Grafico della funzione coseno

 

Come vedete l'argomento è molto vasto, speriamo di essere stati quanto più esaustivi possibile, ma non ce la siamo sentita di tenervi incollati alla sedia per ore e ore. Ad ogni modo ci sono anche due lezioni specifiche in cui riassumiamo:

 

- tutte le proprietà analitiche della funzione seno;

 

- tutte le proprietà analitiche della funzione coseno.

 

 


 

In caso di necessità potete trovare tantissimi esercizi svolti e spiegati qui su YM, non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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