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Seno e coseno

Uno dei primissimi obiettivi della Trigonometria consiste nello studio delle funzioni goniometriche, ossia particolari funzioni costruite a partire dalla circonferenza goniometrica. Tra queste, le prime e più importanti sono seno e coseno.

 

Nella lezione che segue proporremo le definizioni di seno e coseno di un angolo, mettendone in luce le principali proprietà e proponendo alcuni esempi.

 

Rappresentazione e definizione di seno e coseno

 

Consideriamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica:

 

Angolo sulla circonferenza goniometrica per la definizione di seno e coseno

 

Chiamiamo P il punto intercettato dall'angolo sulla circonferenza e Q e R le proiezioni di questo punto rispettivamente sull'asse y e sull'asse x...con un po' di zoom si ottiene:

 

Triangolo costruito su un angolo della circonferenza goniometrica

 

Definizione di seno di un angolo

 

Dato il triangolo rettangolo ORP in figura, si dice seno dell'angolo α il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa del triangolo, in simboli:

 

\sin{(\alpha)}=\frac{\bar{RP}}{\bar{OP}}

 

Ricordate che abbiamo scelto una circonferenza goniometrica, che ha raggio 1, di conseguenza, in questo caso si ha

 

\sin{(\alpha)}=\bar{RP}

 

poiché OP è raggio della circonferenza.

 


 

Definizione di coseno di un angolo

 

Dato il triangolo rettangolo ORP in figura, si dice coseno dell'angolo α il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa del triangolo, in simboli:

 

\cos{(\alpha)}=\frac{\bar{OR}}{\bar{OP}}

 

Ancora una volta, poiché la circonferenza ha raggio unitario si ha

 

\cos{(\alpha)}=\bar{OR}

 

poiché OP è raggio della circonferenza.

 


 

Alcuni esempi su seno e coseno

 

Dalle definizioni che abbiamo dato sopra capiamo come fissato un angolo sulla circonferenza goniometrica si ha che
 

  1. il seno dell'angolo è la misura della proiezione sull'asse y del punto intercettato dall'angolo sulla circonferenza;
     
  2. il coseno dell'angolo è la misura della proiezione di quello stesso punto sull'asse x.

 

Seno e coseno nella circonferenza goniometrica

 

Grazie alle due definizioni date sopra possiamo calcolare facilmente il valore di seno e coseno in 0, π/2, π, (3/2)π

Angoli notevoli

Se l'angolo α è 0 significa che il punto P è (1,0), quindi la sua proiezione sull'asse y è 0 e quella sull'asse x è 1, quindi:

 

\sin{(0)}=0\mbox{ e }\cos{(0)}=1

 

Se α=π/2 allora P=(0,1), quindi la sua proiezione sull'asse x è 0 mentre sull'asse y è 1:

 

\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=1\mbox{ e }\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=0

 

Se α=π allora P=(-1,0), quindi la sua proiezione sull'asse x è -1 mentre sull'asse y è 0:

 

\sin{\left(\pi\right)}=0\mbox{ e }\cos{\left(\pi\right)}=-1

 

Se α=(3/2)π allora P=(0,1), quindi la sua proiezione sull'asse x è 0 mentre sull'asse y è -1:

 

\sin{\left(\frac{3\pi}{2}\right)}=-1\mbox{ e }\cos{\left(\frac{3\pi}{2}\right)}=0

 

Infine si noti che i valori assunti da seno e coseno per α=2π sono esattamente gli stessi che assumevano in α=0. Da questo possiamo dedurre che il seno e il coseno potranno essere rappresentate come funzioni periodiche di periodo 2π, ma prima di parlare di questo dobbiamo studiare altri tre angoli particolarmente importanti (capitano spessissimo negli esercizi quindi è bene imparare a memoria i rispettivi valori di seno e coseno):

α=π/4, α=π/3, α=π/6

1. α=π/4

 

Pi Greco quarti sulla circonferenza goniometrica   Seno e coseno di Pi Greco quarti   

 

 

\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mbox{ e }\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}

 

Se l'angolo è ampio 45° seno e coseno coincidono!

 

2. α=π/3

 

Pi Greco terzi   Seno e coseno di Pi Greco terzi

 

 

\sin{\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mbox{ e }\cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{1}{2}

 

 

3. α=π/6

 

Pi Greco sesti   Seno e coseno di Pi Greco sesti

 

\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{1}{2}\mbox{ e }\cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

I valori si seno e coseno sono scambiati per α=π/3 e α=π/6.

 


 

Le funzioni seno e coseno

 

È possibile dare una rappresentazione analitica (tracciare un grafico) delle funzioni seno e coseno. Elenchiamo le informazioni che abbiamo raccolto fino ad ora:

 

1. Le due funzioni sono periodiche, perché abbiamo visto come i loro valori si ripetono se continuiamo a girare sulla circonferenza. Ad esempio vedete come i valori di seno e coseno per un angolo di 0° siano identici a quelli assunti per un angolo di 2π=360°. Quindi sappiamo anche che il periodo delle due funzioni è di 2π, cioè


\sin{(\alpha+2\pi)}=\sin{(\alpha)}\mbox{ e}\cos{(\alpha+2\pi)}=\cos{(\alpha)}

 

2. Le due funzioni hanno valori sempre compresi tra -1 e 1, cioè il codominio delle funzioni seno e coseno è l'intervallo [-1,1] dei numeri reali.

 

Il grafico della funzione seno

 

Grafico della funzione seno

 

Il grafico della funzione coseno

 

Grafico della funzione coseno


Come vedete l'argomento è molto vasto, speriamo di essere stati quanto più esaustivi possibile, ma non ce la siamo sentita di annoiarvi per ore...Potete peraltro trovare due lezioni specifiche in cui riassumiamo:

 

- tutte le proprietà della funzione sen(x);

 

- tutte le proprietà della funzione cos(x).

 


Stavi cercando solo una tabella con i valori notevoli di seno e coseno e sei capitato su questo articolo? Consulta il nostro tabella con i valori notevoli di seno e coseno
 

 

Se qualcosa non fosse chiaro non esitare e scrivici nel Forum, e ricorda che puoi trovare tantissimi esercizi interamente svolti e spiegati cercando quello che ti serve con la barra di ricerca.

 

\alpha

 

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Tags: definizioni di seno e coseno di un angolo - spiegazione su seno e coseno con esempi semplici.

 

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