Seno e coseno

Uno dei primissimi obiettivi della Trigonometria consiste nello studio delle funzioni goniometriche, ossia particolari funzioni costruite a partire dalla circonferenza goniometrica. In questa lezione spiegheremo cosa sono seno e coseno di un angolo, ne proporremo le definizioni e presteremo particolare attenzione agli aspetti grafici e geometrici delle definizioni.

 

Inoltre, tratteremo le definizioni di seno e coseno di un angolo mettendone in luce le principali proprietà e proponendo diversi esempi.

 

Nel corso della lezione vi rimanderemo anche ai vari approfondimenti che interessano chiunque stia effettuando un ripasso veloce. ;)

 

Rappresentazione e definizione di seno e coseno

 

Partiamo dalla definizione di seno e coseno. Consideriamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica

 

Angolo sulla circonferenza goniometrica per la definizione di seno e coseno

 

L'angolo in questione può essere espresso sia in gradi che in radianti, poco importa. Chiamiamo P il punto intercettato dall'angolo sulla circonferenza, e Q ed R le proiezioni di questo punto rispettivamente sull'asse y e sull'asse x.

 

Triangolo costruito su un angolo della circonferenza goniometrica

 

Definizione di seno di un angolo

 

Dato il triangolo rettangolo ORP in figura, si dice seno dell'angolo α il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa del triangolo. In simboli:

 

\sin{(\alpha)}=\frac{\overline{RP}}{\overline{OP}}

 

Ricordate che abbiamo scelto una circonferenza goniometrica, che ha raggio 1, di conseguenza, in questo caso si ha

 

\sin{(\alpha)}=\overline{RP}

 

poiché OP è raggio della circonferenza.

 

Definizione di coseno di un angolo

 

Dato il triangolo rettangolo ORP in figura, si dice coseno dell'angolo α il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa del triangolo. In simboli:

 

\cos{(\alpha)}=\frac{\overline{OR}}{\overline{OP}}

 

Ancora una volta, poiché la circonferenza ha raggio unitario si ha

 

\cos{(\alpha)}=\overline{OR}

 

poiché OP è raggio della circonferenza.

 

Esempi su seno e coseno

 

Vediamo alcuni esempi di applicazione delle definizioni e, già che ci siamo, approfittiamone per ricavare i valori di seno e coseno in corrispondenza di angoli particolari (i cosiddetti angoli notevoli). Dalle definizioni che abbiamo dato sopra si deduce facilmente che, fissato un angolo sulla circonferenza goniometrica:

 

- il seno dell'angolo è la misura della proiezione sull'asse y del punto intercettato dall'angolo sulla circonferenza;

 

- il coseno dell'angolo è la misura della proiezione di quello stesso punto sull'asse x.

 

Seno e coseno nella circonferenza goniometrica

 

Grazie alle due definizioni date in precedenza possiamo calcolare facilmente il valore di seno e coseno in

 

0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi

 

Angoli notevoli

 

Se α=0 significa che il punto P è (1,0). Quindi la sua proiezione sull'asse y è 0, mentre quella sull'asse x è 1

 

\sin{(0)}=0\ \ \ \ ;\ \ \ \ \cos{(0)}=1

 

Se α=π/2, allora P=(0,1). Quindi la sua proiezione sull'asse x è 0, mentre sull'asse y è 1

 

\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=1\ \ \ \ ;\ \ \ \ \cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=0

 

Se α=π allora P=(-1,0). Quindi la sua proiezione sull'asse x è -1, mentre sull'asse y è 0

 

\sin{\left(\pi\right)}=0\ \ \ \ ;\ \ \ \ \cos{\left(\pi\right)}=-1

 

Se α=3π/2 allora P=(0,-1). Quindi la sua proiezione sull'asse x è 0, mentre sull'asse y è -1

 

\sin{\left(\frac{3\pi}{2}\right)}=-1\ \ \ \ ;\ \ \ \ \cos{\left(\frac{3\pi}{2}\right)}=0

 

Infine si noti che per α=2π i valori assunti da seno e coseno sono esattamente gli stessi che assumevano in α=0.

 

\sin(2\pi)=\sin(0)=0\ \ \ \ ;\ \ \ \ \cos(2\pi)=\cos(0)=1

 

 

Ora dobbiamo studiare i valori di seno e coseno per altri tre angoli particolarmente importanti, i quali capitano spessissimo negli esercizi, per cui è bene impararli sin da ora:

 

\alpha=\frac{\pi}{6},\ \alpha=\frac{\pi}{4},\ \alpha=\frac{\pi}{3}

 

Poiché questi angoli corrispondono rispettivamente a 30°, 45° e 60°, e ricordando che l'ipotenusa del triangolo rettangolo nella circonferenza goniometrica vale 1, ci torneranno utili le formule per i triangoli rettangoli con angoli notevoli (30°-60° e 45°-45°)

 

1) α=π/6

 

Pi Greco sesti   Seno e coseno di Pi Greco sesti

 

Grazie alle suddette formule sappiamo che la proiezione sull'asse x misura √3/2 mentre quella sull'asse y misura 1/2

 

\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{1}{2}\ \ \ \ ;\ \ \ \ \cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

 

2) α=π/4

 

Pi Greco quarti sulla circonferenza goniometrica   Seno e coseno di Pi Greco quarti   

 

In questo caso il triangolo rettangolo è anche un triangolo isoscele, ed i suoi cateti misurano 1/√2. Di solito si preferisce ricorrere al corrispondente valore razionalizzato √2/2

 

\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \ \ \ ;\ \ \ \ \cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}

 

Se l'angolo è ampio 45°, seno e coseno coincidono!

 

 

3) α=π/3

 

Pi Greco terzi   Seno e coseno di Pi Greco terzi

 

Qui la situazione è opposta rispetto al caso α=π/6

 

\sin{\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \ \ \ ;\ \ \ \ \cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{1}{2}

 

e si noti che i valori di seno e coseno sono esattamente invertiti per α=π/3 e α=π/6.

 

 


 

Se ti serve una tabella con i valori notevoli assunti dal seno e dal coseno in corrispondenza dei vari angoli, puoi consultare la tabella con i valori notevoli di seno e coseno. ;)

 

Più in generale, sappiate che gli unici valori da ricordare sono quelli che abbiamo ricavato qui sopra. Come vedremo nelle lezioni di Trigonometria, ci sono diverse formule che permettono di calcolare velocemente tutti i valori di seno e coseno in corrispondenza degli angoli che ricadono negli altri quadranti.

 


 

Le funzioni seno e coseno

 

È possibile dare una rappresentazione analitica (tracciare un grafico) delle funzioni seno e coseno. Elenchiamo le informazioni che abbiamo raccolto fino ad ora.

 

 

A) Noi abbiamo considerato solamente angoli compresi nell'intervallo [0,2\pi]. Tanto basta: se sommiamo o sottraiamo un multiplo di 2π ad un angolo α compreso tra 0 e 2π, abbiamo un diverso valore numerico ma un angolo che "fisicamente" coindice con α sulla circonferenza goniometrica.

 

Da qui deduciamo che le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche di periodo 2π

 

\\ \sin(\alpha)=\sin(\alpha+2k\pi)\ \ \ \mbox{per qualsiasi }k\in\mathbb{Z}\\ \\ \cos(\alpha)=\cos(\alpha+2k\pi)\ \ \ \mbox{per qualsiasi }k\in\mathbb{Z}

 

dove k\in\mathbb{Z} indica un qualsiasi intero relativo.

 

In parole povere i valori di seno e coseno si ripetono se continuiamo a girare sulla circonferenza.

 

 

B) Le due funzioni hanno valori sempre compresi tra -1 e 1

 

\\ -1\leq \sin(x)\leq +1\\ \\ -1\leq \cos(x)\leq +1

 

e assumono tutti i valori compresi tra -1 e 1

 

\\ \forall y\in [-1,1]\ \exists x\in [0,2\pi)\ \mbox{tale che }y=\sin(x)\\ \\ \forall y\in [-1,1]\ \exists x\in [0,2\pi)\ \mbox{tale che }y=\cos(x)

 

In breve, l'immagine delle funzioni seno e coseno è l'intervallo [-1,1] dei numeri reali.

 

Grafico della funzione seno

 

Grafico della funzione seno

 

Grafico della funzione coseno

 

Grafico della funzione coseno

 

Come vedete l'argomento è molto vasto, speriamo di essere stati quanto più esaustivi possibile, ma non ce la siamo sentita di tenervi incollati alla sedia per ore e ore. Ad ogni modo ci sono anche due lezioni specifiche in cui riassumiamo:

 

- tutte le proprietà analitiche della funzione seno;

 

- tutte le proprietà analitiche della funzione coseno.

 

 


 

In caso di necessità potete trovare tantissimi esercizi svolti e spiegati qui su YM, non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

α

 

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