Formula del cambiamento di base dei logaritmi

La formula del cambiamento di base è una regola di calcolo dei logaritmi che permette di sostituire la base di un dato logaritmo con una base a scelta, esprimendolo come rapporto di logaritmi nella nuova base.

 

In questa breve lezione vedremo nel dettaglio la formula di cambiamento di base per i logaritmi, daremo qualche suggerimento utile per ricordarla e, per chi fosse interessato, mostreremo qualche esempio e cercheremo di capire perché spesso è utile cambiare la base di un logaritmo.

 

A proposito: raccomandiamo un eventuale ripasso sulla definizione di logaritmo. Sapevate che c'è anche un'intera lezione dove potete trovare tutte le proprietà dei logaritmi, con le relative dimostrazioni? :)

 

Formula del cambiamento di base per i logaritmi

 

Ecco la formula per il cambiamento di base nei logaritmi: dati a,b,c positivi e con a,c\neq 1

 

\log_a (b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}

 

Grazie a questa formula possiamo scrivere il logaritmo in una data base a con una nuova base c scelta a piacere, purché sia maggiore di zero e diversa da uno.

 

Come ricordare la formula del cambiamento di base

 

Supponiamo di voler scrivere \log_a(b) nella nuova base c. Procederemo in questo modo:

 

- scriviamo una frazione avente sia a numeratore che a denominatore il logaritmo in base c:

 

\frac{\log_c(\mbox{...})}{\log_c(\mbox{...})}

 

- come argomento del logaritmo presente a numeratore prenderemo ciò "che sta sopra" nel logaritmo di partenza (cioè b);

 

- come argomento del logaritmo presente a denominatore prenderemo ciò "che sta sotto" nel logaritmo di partenza (cioè a).

 

Otterremo così:

 

\log_a (b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}

 

Facile, vero? :)

 

Quando ricorrere alla formula del cambiamento di base

 

Vediamo qualche esempio sull'utilizzo della formula del cambiamento di base, che renderà tutto immediatamente semplice.

 

 

1) Dobbiamo calcolare il valore numerico di \log_{27}(81).

 

Ricordando che il logaritmo è l'esponente che bisogna dare alla base (in questo caso 27) per ottenere l'argomento (81). Il logaritmo assegnato è alquanto laborioso da calcolare, perlomeno nella forma con cui si presenta, né ci è d'aiuto una normale calcolatrice in quanto calcola solo logaritmi in base 10 o in base naturale e.

 

Poiché 27 e 81 sono entrambi potenze del 3, esprimiamo \log_{27}(81) in base 3.


Con la formula del cambiamento di base otteniamo:

 

\log_{27}(81)=\frac{\log_3(81)}{\log_3(27)}\overbrace{=}^{(*)}\frac{4}{3}

 

Il passaggio (*) vale perché 81=3^4 \ \mbox{e} \ 27=3^3.

 

In soldoni, se si vuole calcolare il valore numerico di un logaritmo in cui base e argomento sono potenze dello stesso numero, si ricorre alla formula del cambiamento di base scegliendo come nuova base proprio quel numero.

 

 

2) Calcoliamo il valore numerico di \log_{7}(721).

 

In questo caso, a differenza dell'esempio precedente, 7 e 721 non sono potenze di uno stesso numero. Non disperiamo! Ricordiamo sempre che abbiamo a disposizione la nostra amata calcolatrice che ci calcola i logaritmi in base 10. Utilizziamo quindi la formula del cambiamento di base scrivendo il logaritmo dato in base 10:

 

\log_{7}(721) = \frac{\log_{10}(721)}{\log_{10}(7)} \simeq 3,38

 

dove il risultato è frutto di un'approssimazione.

 

 

3) Dobbiamo risolvere un'equazione logaritmica o una disequazione con logaritmi aventi basi diverse, ad esempio:

 

2 \log_9(x) + \log_3(x) = \log_3(4)

 

prima di tutto imponiamo le condizioni di esistenza, e scopriamo che l'equazione ha senso solo nell'insieme

 

\{x\in \mathbb{R} \ \mbox{t.c.} \ x \textgreater 0\}

 

Per poter applicare la proprietà dei logaritmi relativa al prodotto (la somma di due logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto dei loro argomenti), i due a sinistra devono avere la stessa base.

 

Convertiamo quindi la base di uno dei due logaritmi a primo membro; essendo 9=3^2 convertiamo il primo logaritmo in base 3:

 

\log_{9}(x) = \frac{\log_3(x)}{\log_3(9)} = \frac{\log_3(x)}{2}

 

Abbiamo dunque:

 

\\ 2 \ \frac{\log_3(x)}{2} + \log_3(x) = \log_3 (4)\\ \\ \log_3 (x) + \log_3 (x) = \log_3 (4)\\ \\ \log_3(x^2) = \log_3 (4)\\ \\ x^2 = 4

 

Quest'ultima è un'equazione di secondo grado che ha come soluzioni x=\pm 2, di cui solo x=2 è accettabile in quanto rientra nell'campo di esistenza.

 

 


 

Per questa lezione è davvero tutto! Vi suggeriamo di fare un po' di allenamento con gli esercizi della scheda correlata, e a cercare le risposte ai vostri dubbi tra le migliaia di esercizi risolti su YM! ;)

 

 

 Buona Matematica a tutti,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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