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Come controllare se una funzione è iniettiva

Nell'articolo iniettività, suriettività e invertibilità di una funzione abbiamo visto le definizioni di funzioni iniettive, suriettive e biunivoche tra due insiemi f: A → B qualsiasi. Qui vogliamo parlare nello specifico di funzioni definite sui numeri reali a valori reali, cioè le funzioni che si studiano in Analisi 1. Come si traduce la definizione di funzione iniettiva in questo caso specifico? E come si fa per stabilire se una funzione è iniettiva?

 

Quali sono i metodi per dire se le funzioni reali di variabile reale sono iniettive? Insomma: come si fa nella pratica? Vediamo come comportarci.

 

Come verificare se una funzione da R a R è iniettiva

 

Data una funzione

 

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},   f:x\mapsto y

 

(abituatevi a questa scrittura!...) si dice che f è iniettiva se per ogni x_{1},x_{2} nel dominio di f la condizione f(x_{1})=f(x_{2}) implica che x_{1}=x_{2}.

 

In simboli:

 

\forall x_{1},x_{2}\in Dom(f)\mbox{ tali che }f(x_{1})=f(x_{2})\mbox{ risulta che }x_{1}=x_{2}.

 

In particolare Dom(f) indica il dominio della funzione f, vale a dire il sottoinsieme di \mathbb{R}, o eventualmente tutto l'asse reale \mathbb{R} in cui la funzione è definita. In soldoni il dominio di f è l'insieme in cui ha senso valutare la funzione f - nell'articolo sul dominio di funzioni puoi trovare una spiegazione precisa di cos'è il campo di esistenza di una data funzione e come si determina.

 

Fin qui nessun problema (forse): tutto ok. Ma come si fa a dire se la funzione che il nostro professore ci propina è iniettiva oppure no? Prima vediamo i metodi, poi vediamo millemila esempi.

 

Studio dell'iniettività con il metodo analitico


Il metodo analitico (cioè smanettando con i calcoli) si basa direttamente sulla definizione data poco sopra. Procediamo per punti:

 

1) Prendi la funzione y=f(x), imponi l'uguaglianza f(x_{1})=f(x_{2}). Qui x_{1},\ x_{2} sono generici e quindi li trattiamo come si fa nel calcolo letterale, come nei primi anni di Liceo.

 

2) Risolvi l'uguaglianza, porta tutti gli x_{1} a sinistra dell'uguale e tutti gli x_{2} a destra dell'uguale. Usa le solite regole con cui si risolvono le equazioni per farlo ("posso fare tutto ciò che voglio, basta che io lo faccia allo stesso modo da una parte e dall'altra dell'uguale").

 

3) Se alla fine trovi x_{1}=x_{2} e basta allora f è iniettiva, altrimenti se ci sono altre possibilità non è iniettiva.

 

Studio dell'iniettività con il metodo grafico


Il metodo grafico è invece un metodo più scaltro, ma richiede un minimo di capacità nel disegnare i grafici delle funzioni. Non richiede di sapere fare lo studio di funzione completo, basta conoscere i grafici delle funzioni elementari e avere un filo di dimestichezza. È il metodo consigliato se la funzione non ha  un'espressione troppo complicata.


1) Disegna un grafico qualitativo della funzione, ossia un grafico che non deve essere precisissimo ma che rispecchi le caratteristiche della funzione considerata.


2) Traccia una serie di rette orizzontali (parallele all'asse delle x).


3) Con una sola occhiata puoi vedere le zone - prendi come riferimento l'asse delle y - in cui le rette orizzontali intersecano o non intersecano il grafico della funzione f .

 

4) Se riesci a trovare anche solo una retta orizzontale che interseca il grafico della funzione in due o più punti, la funzione non è iniettiva. Se invece tutte le rette orizzontali hanno al massimo una sola intersezione con il grafico, o non ne hanno, allora la funzione è iniettiva.

 

Esempi di funzioni iniettive


I) Consideriamo la funzione y=f(x)=4x+5 (una retta). Questa funzione è iniettiva, infatti usando il metodo analitico troviamo che imponendo f(x_{1})=f(x_{2}), vale a dire

 

4x_{1}+5=4x_{2}+5

 

tolgo i +5, poi divido per 4, trovo

 

x_{1}=x_{2}.

 

E' iniettiva, perché non ci sono altre possibilità!

 

Con il metodo grafico, abbiamo la stessa risposta

 

Ogni funzione lineare è iniettiva

 

II) Consideriamo la funzione y=f(x)=x^2+4x-5 (parabola). Questa funzione non è iniettiva, infatti con il metodo grafico si trova

 

Esempio di funzione non iniettiva


III) Consideriamo la funzione y=f(x)=x^2-6 (una parabola). Questa funzione non è iniettiva, infatti con il metodo analitico imponiamo f(x_{1})=f(x_{2}), dunque

 

x_{1}^2-6=x_{2}^2-6

 

tolgo i - 6 e poi calcolo la radice quadrata di entrambi i membri ricavando

 

\pm x_{1}=\pm x_{2}

 

e l'uguaglianza è verificata, oltre che per x_1=x_2, anche per x_{1}=-x_{2}, dunque niente iniettività.

 

IV) Consideriamo la funzione esponenziale y=f(x)=e^{x}, che è iniettiva, ed è facile vederlo sia con il metodo grafico sia con metodo analitico. Con il primo infatti abbiamo la seguente situazione

 

La funzione esponenziale è iniettiva

 

con il metodo analitico invece da

 

e^{x_{1}}=e^{x_{2}}

 

applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri si ricava

 

x_{1}=x_{2}

 

e quindi è una funzione iniettiva.

 


 

Hai capito come funziona la faccenda? Puoi provare da te, qui sotto trovi i link agli esercizi: e se non riesci, o se qualcosa non va nella teoria, raccontaci i tuoi dubbi nel Forum. Nel frattempo, prova a cercare qui su YM con l'apposita barra di ricerca. Tra le migliaia e migliaia di problemi risolti potrebbe esserci anche il tuo...Wink

 

 

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