Come controllare se una funzione è iniettiva

Una funzione iniettiva (o ingettiva) è una funzione che ad elementi distinti del dominio associa elementi distinti del codominio. Nel caso di una funzione reale di variabile reale, una funzione iniettiva ha il grafico che viene intersecato al più una sola volta da qualsiasi retta orizzontale.

 

Nell'articolo iniettività, suriettività e invertibilità di una funzione abbiamo visto le definizioni di funzioni iniettive, suriettive e biunivoche tra due insiemi f: A → B qualsiasi. Qui vogliamo parlare nello specifico di funzioni definite sui numeri reali a valori reali, cioè le funzioni che si studiano in Analisi 1. Come si traduce la definizione di funzione iniettiva in questo caso specifico? E come si fa per stabilire se una funzione è iniettiva?

 

Quali sono i metodi per dire se le funzioni reali di variabile reale sono iniettive? Insomma: come si fa nella pratica? Vediamo come comportarci.

 

Come verificare se una funzione da R a R è iniettiva

 

Data una funzione

 

 

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ \ \ \ \ f:x\mapsto y

 

 

(abituatevi a questa scrittura!) si dice che f è iniettiva se per ogni x_{1},x_{2} nel dominio di f la condizione f(x_{1})=f(x_{2}) implica che x_{1}=x_{2}.

 

In simboli:

 

 

\forall x_{1},x_{2}\in Dom(f)\mbox{ tali che }f(x_{1})=f(x_{2})\mbox{ risulta che }x_{1}=x_{2}.

 

 

In particolare Dom(f) indica il dominio della funzione f, vale a dire il sottoinsieme di \mathbb{R}, o eventualmente tutto l'asse reale \mathbb{R}, in cui la funzione è definita. In soldoni il dominio di f è l'insieme in cui ha senso valutare la funzione f. Nell'articolo sul dominio di funzioni puoi trovare una spiegazione precisa di cos'è il campo di esistenza di una data funzione e come si determina.

 

Fin qui nessun problema. Ma come si fa a dire se la funzione che il nostro professore ci propina è iniettiva oppure no? Prima vediamo i metodi, poi un po' di esempi.

 

Studio dell'iniettività con il metodo analitico

 

Il metodo analitico (cioè smanettando con i calcoli) si basa direttamente sulla definizione data poco sopra. Procediamo per punti:

 

 

1) consideriamo la funzione y=f(x) e imponiamo l'uguaglianza

 

f(x_{1})=f(x_{2})

 

Qui x_{1},\ x_{2} sono generici e quindi li trattiamo come si fa nel calcolo letterale, come nei primi anni di Liceo.

 

 

2) Risolviamo l'uguaglianza, portiamo tutti gli x_{1} a sinistra dell'uguale e tutti gli x_{2} a destra dell'uguale. Per farlo usiamo le solite regole con cui si risolvono le equazioni.

 

 

3) Se alla fine troviamo x_{1}=x_{2} e basta allora f è iniettiva, altrimenti se ci sono altre possibilità non è iniettiva.

 

Studio dell'iniettività con il metodo grafico


Il metodo grafico è invece un metodo più scaltro, ma richiede un minimo di capacità nel disegnare i grafici delle funzioni. Non richiede di saper effettuare uno studio di funzione completo, basta conoscere i grafici delle funzioni elementari e avere un filo di dimestichezza. È il metodo consigliato se la funzione non ha un'espressione troppo complicata.



1) Disegna un grafico qualitativo della funzione, ossia un grafico che non deve essere precisissimo ma che rispecchi le caratteristiche della funzione considerata.

 

 

2) Traccia una serie di rette orizzontali (parallele all'asse delle x).

 

 

3) Con una sola occhiata puoi vedere le zone - prendi come riferimento l'asse delle y - in cui le rette orizzontali intersecano o non intersecano il grafico della funzione f .

 

 

4) Se riesci a trovare anche solo una retta orizzontale che interseca il grafico della funzione in due o più punti, allora la funzione non è iniettiva. Se invece tutte le rette orizzontali hanno al massimo una sola intersezione con il grafico, o non ne hanno, allora la funzione è iniettiva.

 

Esempi di funzioni iniettive

 

I) Consideriamo la funzione

 

f(x)=4x+5

 

che ha come grafico una retta. Questa funzione è iniettiva e per vederlo possiamo applicare il metodo analitico. Imponiamo f(x_{1})=f(x_{2}), vale a dire

 

4x_{1}+5=4x_{2}+5

 

eliminiamo i +5 e dividiamo per 4, in modo da ottenere

 

x_{1}=x_{2}

 

Dunque abbiamo a che fare con una funzione iniettiva, perché non ci sono altre possibilità oltre a x_{1}=x_{2}.

 

Con il metodo grafico si giunge alla stessa conclusione

 

Ogni funzione lineare è iniettiva

 

II) Consideriamo la funzione

 

f(x)=x^2+4x-5

 

che ha come grafico una parabola. Questa funzione non è iniettiva, infatti con il metodo grafico si trova

 

Esempio di funzione non iniettiva

 

 

 

III) Consideriamo la funzione

 

f(x)=x^2-6

 

che viene rappresentata nel piano cartesiano da una parabola. Questa funzione non è iniettiva, infatti con il metodo analitico imponiamo f(x_{1})=f(x_{2}), dunque

 

x_{1}^2-6=x_{2}^2-6

 

eliminiamo i - 6 ed estraiamo la radice quadrata di entrambi i membri, ricavando

 

x_{1}=\pm x_{2}

 

Così facendo scopriamo che l'uguaglianza è verificata, oltre che per x_1=x_2, anche per x_{1}=-x_{2}. Niente iniettività!

 

 

IV) Consideriamo la funzione esponenziale

 

f(x)=e^{x}

 

che è iniettiva, ed è facile vederlo sia con il metodo grafico sia con metodo analitico.

 

Con il primo infatti abbiamo la seguente situazione

 

La funzione esponenziale è iniettiva

 

invece con il metodo analitico, da

 

e^{x_{1}}=e^{x_{2}}

 

applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri si ricava

 

x_{1}=x_{2}

 

e quindi è una funzione iniettiva.

 

 


 

Tutto chiaro? Se volete ora potete allenarvi un po' per conto vostro, qui sotto trovate i link agli esercizi correlati. C'è anche un tool per controllare l'iniettività delle funzioni online. Nel frattempo potete anche provare a cercare qui su YM con l'apposita barra di ricerca interna. Tra le migliaia e migliaia di problemi risolti potrebbe esserci anche il vostro... ;)

 

 

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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