Immagine di una funzione

L'immagine di una funzione è l'insieme dei valori assunti da una funzione sul proprio dominio, ed è quindi contenuta nell'insieme di arrivo della funzione (il codominio), con il quale può al più coincidere.

 

Nel contesto delle funzioni reali di variabile reale il secondo insieme, dopo il dominio, che caratterizza le funzioni è l'immagine. Che cos'è l'immagine di una funzione, e come si determina? Sono effettivamente domande molto semplici che però mettono spesso in crisi gli studenti, e qui interviene come al solito YM! :)

 

In questo articolo ci occuperemo di tre aspetti cruciali:

 

1) che cos'è l'immagine di una funzione;

 

2) come calcolare l'immagine di una funzione;

 

3) differenza tra immagine e codominio.

 

Che cos'è l'immagine di una funzione?

 

Data una funzione f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} con dominio D=Dom(f)\subseteq\mathbb{R}, chiamiamo immagine di f l'insieme

 

 

Im(f):=\{y\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }y=f(x)\mbox{ al variare di }x\in Dom(f)\}

 

 

In parole povere l'immagine è l'insieme di tutte le ordinate corrispondenti alle ascisse di Dom(f) mediante la funzione f.

 

La prima cosa da notare è che Im(f)\subseteq \mathbb{R} e nella corrispondenza f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} l'immagine è un sottoinsieme dell'insieme "di arrivo", cioè del secondo \mathbb{R}. Al contrario, il dominio è un sottoinsieme dell'insieme di partenza, cioè del primo \mathbb{R}.

 

Come determinare l'immagine di una funzione

 

Il metodo più sciocco e più banale è quello che si basa sulla definizione di immagine, ma è sicuramente quello vincente! Abbiamo detto che l'immagine di una funzione è un insieme "dell'insieme di arrivo", ed è dato in particolare da tutte le ordinate che corrispondono alle ascisse di Dom(f) mediante f.

 

Possiamo allora trovare l'immagine Im(f) facendo riferimento alla rappresentazione grafica di f: dopo aver disegnato il grafico di f consideriamo la proiezione di G(f) sull'asse delle y. Tale insieme è proprio l'immagine Im(f).

 

Ad esempio...

 

Esempio di immagine di una funzione 1

f(x)=x^2+1

 

ha immagine

 

Im(f)=[1,+\infty)

Esempio di immagine di una funzione 2

f(x)=\begin{cases}-x+1\mbox{ se }x<0\\ -x-2\mbox{ se }x\geq 0\end{cases}

 

ha immagine

 

Im(f)=(-\infty,-2]\cup (1,+\infty)

Esempio di immagine di una funzione 3

(una funzione a capocchia)

 

ha immagine

 

Im(f)=[-3,+\infty)

Esempio di immagine di una funzione 4

f(x)=x

 

ha immagine

 

Im(f)=\mathbb{R}

 

L'interpretazione grafica ci fornisce un metodo semplicissimo, è vero, però possiamo subito immaginare quali siano i dubbi successivi del lettore:

 

- ok, devo trovare il grafico. E come faccio?

 

- Esiste un procedimento analitico alternativo?

 

Per quel che riguarda la prima domanda, tutto dipende da due diversi fattori. Il primo è il grado di preparazione che lo studente dovrebbe avere acquisito (e non è detto che coincida con quel che lo studente ha effettivamente imparato! :P ); il secondo fattore è il contesto in cui viene proposta una richiesta del genere.

 

In generale abbiamo due modi per rappresentare il grafico di una funzione:

 

- possiamo procedere con uno studio di funzione completo;

 

- possiamo ricorrere alle regole del grafico intuitivo, che però è applicabile solamente nel caso di funzioni dall'espressione semplice.

 

In ogni caso possiamo trovare una buona mediazione tra i due metodi. Se l'esercizio ci chiede di determinare l'immagine di una funzione dopo averne effettuato lo studio, non abbiamo molti dubbi su quale sia il metodo da utilizzare; ma se le domande sono one shot, come ad esempio

 

"trovare l'immagine delle funzioni y=x^3+2,\ y=\sqrt{x},\ y=2\sin{(x)}"

 

allora non scomoderemo l'intera procedura di studio e ricaveremo Im(f) con le regole del grafico immediato.

 

In ogni caso, se non vogliamo sbagliare, dovremo ricavare l'immagine della funzione a partire dal grafico. (A proposito: nell'esempio sono rispettivamente \mathbb{R},\ [0,+\infty),\ [-2,+2]).

 

Esempio di calcolo dell'immagine di una funzione con il metodo grafico

 

Calcolare l'immagine della funzione f(x)=\ln{(1+x)}.

 

Svolgimento: sappiamo che Dom(f)=(-1,+\infty). Grazie alle regole sul grafico intuitivo possiamo ricavare il grafico di f traslando orizzontalmente il grafico del logaritmo verso sinistra, di un'unità

 

 

Esempio sull'immagine di una funzione

 

 

In ogni caso l'immagine di f(x) non cambia rispetto all'immagine di y=\log{(x)}, perché raggiungiamo sempre le stesse ordinate: abbiamo solo compiuto una traslazione orizzontale rispetto a y=\log{(x)}. Ne deduciamo che Im(f)=(-\infty,+\infty).

 

Metodo analitico per l'immagine di una funzione

 

Passiamo alla seconda domanda: esiste un procedimento alternativo che sia puramente analitico e che ci permetta di ricavare l'immagine di una funzione qualsiasi?

 

Nì. :|

 

Nì nel senso che da un lato la risposta è no: non possiamo applicarlo per qualsiasi funzione. Sì, perché con qualche opportuna osservazione di carattere analitico possiamo cavarcela e capire con esattezza quale sia l'immagine di f. Nì perché, sotto sotto, qualsiasi osservazione qualitativa sulla funzione non sarebbe altro che un'estrapolazione di parte delle considerazioni che ci servono per tracciarne il grafico. Il metodo delle considerazioni analitiche non è nient'altro che un "taglia e cuci" di alcune delle considerazioni che si effettuano nel contesto dello studio di funzione, ed in cui si eliminano le informazioni non essenziali e si evita di tracciarne il grafico.

 

In effetti, pensandoci bene, per come è definita l'immagine, non possiamo prescindere dal comportamento globale della funzione. Ciò che possiamo fare è minimizzare la quantità di informazioni necessarie per individuarla, lasciando perdere quelle che non sono rilevanti per i nostri scopi.

 

In generale il metodo analitico prevede di determinare: il dominio della funzione; il segno della funzione; le intersezioni con gli assi (che sono degli ottimi riferimenti per individuare gli intervalli che costituiscono l'immagine); la presenza di eventuali punti di discontinuità; massimi e minimi e monotonia della funzione - o eventualmente solo alcune tra le precedenti informazioni. Da notare che lo studio della derivata seconda non è incluso nell'elenco - questo perchè in generale non serve.

 

Sui sottointervalli in cui la funzione è una funzione continua, poi, conviene fare riferimento ad un importante teorema dell'Analisi Matematica, di cui omettiamo la dimostrazione (teorema dei valori intermedi): data f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} continua su un intervallo [a,b], f assume su [a,b] tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo:

 

min_{x\in [a,b]}f(x)\leq f(x)\leq Max_{x\in [a,b]}f(x).

 

Dunque sugli intervalli di continuità ci basterà individuare il massimo ed il minimo assoluti che la funzione assume sull'intervallo stesso.

 

Nota bene: nel caso in cui il metodo analitico non dovesse piacervi nessun problema! Basterà procedere con il metodo grafico descritto in precedenza.

 

Esempio sul metodo analitico per l'immagine di una funzione 

 

Prendiamo la funzione g(x)=\ln{(e^x+1)}, di cui vogliamo determinare l'immagine.

 

Svolgimento: non conviene procedere con il metodo del grafico immediato, dacché il grafico di g(x) non è così intuitivo. Potremmo effettuare uno studio completo di y=g(x) e non sarebbe affatto sbagliato. Non è però necessario, infatti come vedremo tra un istante possiamo cavarcela egregiamente con una manciata di osservazioni di carattere analitico.

 

Innanzitutto notiamo che Dom(f)=\mathbb{R} poiché e^x+1>0 per ogni x\in\mathbb{R}.

 

La funzione logaritmo è positiva se il suo argomento è maggiore di 1, e tale è e^x+1 perché e^x>0\Rightarrow e^x+1>+1. Ne deduciamo che g(x)>0 per ogni x\in\mathbb{R}.

 

Abbiamo già capito che Im(f)\subseteq\{x>0\}.

 

Dato che su [1,+\infty) la funzione logaritmo \ln{(z)} è continua, capiamo immediatamente che y=g(x) è una funzione continua su tutto l'asse reale. Essa è inoltre composizione di funzioni strettamente crescenti (y=\ln{(z)} e z=e^x+1), dunque è strettamente crescente.

 

Morale della favola: se troviamo i limiti agli estremi del dominio abbiamo l'immagine della funzione!

 

\lim_{x\to -\infty}{\ln{(e^x+1)}}=\ln{(0+1)}=0\ ;\ \lim_{x\to +\infty}\ln{(e^x+1)}=+\infty

 

e in definitiva (per continuità) Im(g)=(0,+\infty).

 

Relazione tra immagine di una funzione e codominio

 

Prima di salutarci vale la pena di spendere due parole riguardo alla differenza che sussiste tra immagine di una funzione e codominio di una funzione. Capita spesso che gli studenti (e non solo!) facciano confusione tra la nozione di immagine e la nozione di codominio, e che a volte chiamino "codominio" quella che in realtà è l'immagine.

 

Se in un esercizio qualcuno dovesse chiedervi di "trovare il codominio di una funzione", vi suggeriamo caldamente di scrivere qualcosa del genere:

 

"Ok, mi chiedi di trovare il codominio della funzione: immagino che tu intenda trovare l'immagine della funzione, e se così fosse

 

[...procedimento per l'immagine...]

 

se invece vuoi effettivamente che io ti dica qual è il codominio della funzione, eccolo

 

[...codominio della funzione...] "

 

Trovare il codominio di una funzione è una sciocchezza. Data

 

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

 

o più in generale

 

f:Pippo\to Pluto

 

dove Pippo,\ Pluto\subseteq\mathbb{R}, il codominio è definito sempre e comunque come insieme di arrivo nella definizione della funzione! 

 

\\ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ \Rightarrow\ \mbox{Codominio: }\mathbb{R}\\ \\ f:Pippo\to Pluto \Rightarrow\ \mbox{Codominio: }Pluto

 

L'immagine è invece quell'insieme che abbiamo definito inizialmente, ed è sempre un sottoinsieme del codominio contenuto al più impropriamente in esso

 

\mbox{Immagine }\subseteq\mbox{ Codominio}

 

Nel caso in cui l'immagine coincida con il codominio ci troveremo di fronte ad un particolare tipo di funzione: una funzione suriettiva.

 

\mbox{Immagine }\subseteq\mbox{ Codominio : sempre!}\\ \\ \mbox{Immagine }\equiv\mbox{ Codominio: Funzione suriettiva}

 

 

Esempi

 

1)\ \ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^2+1

 

Codominio: \mathbb{R}; immagine: [+1,+\infty).

 

2)\ \ g:\mathbb{R}\to [-5,+5],\ g(x)=\sin{(x)}

 

Codominio: [-5,+5]; immagine: [-1,+1].

 

3)\ \ h:[-2,+1]\to[-2,+1],\ h(x)=x

 

Codominio: [-2,+1]; immagine: [-2,+1].

 

 

Si noti che la definizione di codominio è molto "elastica" e dipende dalla definizione data per la funzione: non a caso molto spesso possiamo rendere suriettiva una funzione che non lo è, dandone una nuova definizione e restringendo opportunamente il codominio in modo che coincida con l'immagine. Questo perché l'immagine dipende solo ed esclusivamente dalla funzione e dal dominio!

 

 


 

Fine! Per dubbi, domande, o se foste in cerca di esercizi svolti, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna. E sappiate che qui su YM c'è anche un comodissimo tool per calcolare l'immagine di una funzione online. ;)

 

 

Gule gule, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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