Funzione suriettiva, iniettiva, biettiva

In questo articolo descriveremo tre importanti proprietà delle funzioni reali di variabile reale, introducendo le definizioni di funzione iniettiva, suriettiva e biettiva e spiegando il significato di iniettività, suriettività e biettività.

 

Come è giusto che sia, qui di seguito proporremo le definizioni nel caso più generale possibile, dunque considereremo funzioni tra due insiemi qualsiasi

 

f:A\rightarrow B

 

e non solamente funzioni reali di variabile reale.

 

Nel seguito avremo modo di occuparci di quest'ultime e dei metodi per lo studio di tali proprietà, in particolare nelle lezioni successive, di cui potete trovare i link nel corso di questa lezione. In ogni caso vi sconsigliamo di procedervi subito. Non si può prescindere dallo studio preventivo delle definizioni il quale, soprattutto nel caso delle funzioni iniettive e suriettive, nasconde diverse insidie per i meno esperti. ;)

 

Funzione suriettiva

 

Facendo riferimento alle rappresentazioni mediante punti e frecce introdotte nella lezione sulla definizione di funzione, una funzione è suriettiva se ogni elemento del secondo insieme è raggiunto da almeno una freccia che parte dal primo insieme, come in figura:

 

 

Definizione di funzione suriettiva

 

 

In termini rigorosi si dice che una funzione è suriettiva se l'immagine di f coincide con il codominio, che è l'insieme di arrivo della funzione (nel nostro caso B).

 

Più espressamente, la definizione di funzione suriettiva si può formulare come segue: una funzione f è suriettiva se per ogni elemento b del codominio B esiste almeno un elemento a del dominio A tale per cui b è l'immagine di a mediante f: b=f(a).

 

In simboli

 

 

\forall b\in B\ \ \exists a\in A\ \mbox{ t.c. }f(a)=b

 

 

il che equivale a dire che l'immagine della funzione coincide con il codominio

 

 

\mbox{Im}(f)=B

 

 

Nota bene: attenzione a non confondere la scrittura simbolica della definizione di funzione iniettiva con quella della definizione di funzione!

 

 

Se vuoi conoscere il metodo per stabilire se una funzione è suriettiva, hai a disposizione diversi esempi e il metodo passo passo nella lezione del link.

 

Funzione iniettiva

 

Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio (l'insieme su cui la funzione è definita, nel nostro caso A), hanno immagini distinte.

 

In simboli scriveremo

 

 

\forall a_1, a_2\in A\mbox{, tali che }a_1\neq a_2\ \Rightarrow\ f(a_1)\neq f(a_2)

 

 

Una formulazione del tutto equivalente è la seguente: una funzione è iniettiva se ogni immagine non ammette più di una preimmagine. In parole povere, se due elementi hanno la stessa immagine, allora necessariamente coincidono

 

 

\forall a_1, a_2\in A\mbox{, tali che }f(a_1)=f(a_2)\ \Rightarrow\ a_1=a_2

 

 

Possiamo rappresentare graficamente la definizione di funzione iniettiva con un semplice esempio:

 

 

Definizione di funzione iniettiva

 

 

Clicca qui se vuoi leggere l'articolo sul metodo per stabilire se una funzione è iniettiva.

 

Funzione biunivoca (funzione biettiva)

 

L'uno e l'altro non si può? :) Certamente: diremo funzione biunivoca (o funzione biettiva) una qualsiasi funzione che è sia iniettiva che suriettiva.

 

Graficamente avremo una situazione come nella figura sottostante:

 

 

Definizione di funzione biunivoca

 

 

In particolare una funzione biunivoca è invertibile, infatti è sufficiente invertire il verso delle frecce (come nella figura sottostante) per ottenere ancora una volta una funzione.

 

 

f^{-1}:B\rightarrow A

 

 

Questa è proprio una funzione, infatti soddisfa la regola per cui le frecce non possono sdoppiarsi, e nello specifico viene chiamata funzione inversa di f.

 

 

Definizione di funzione inversa

 

 

Con questo è tutto: non dimenticate che potete chiedere aiuto allo Staff di YouMath aprendo una discussione nel Forum, e che qui su YM avete a disposizione tantissimi problemi risolti che potete reperire con la barra di ricerca.

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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Tags: definizioni di funzione iniettiva, suriettiva e biettiva e spiegazione sul concetto di iniettività, suriettività e biettività.