Cos'è il grafico di una funzione?

In questa lezione introdurremo il concetto di grafico di funzione definita da \mathbb{R} a \mathbb{R}, e mostreremo come definire una rappresentazione grafica di una qualsiasi funzione reale di variabile reale.

 

Sappiate sin da subito che in questa pagina non mostreremo come si arriva a tracciare il grafico a partire dalla semplice espressione analitica, perché è un procedimento che richiede molti prerequisiti teorici e pratici.

 

A fine lezione però, dopo aver spiegato in dettaglio la definizione di grafico coadiuvandola con alcuni esempi, daremo tutti i riferimenti per chi vuole passare direttamente al sodo. Un consiglio: leggete e non abbiate fretta. :)

 

Definizione di grafico di una funzione

 

Una funzione di variabile reale a valori reali, in simboli

 

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ \ \ f:x\mapsto y

 

può essere rappresentata mediante un grafico nel piano cartesiano, vale a dire un diagramma che ci permette di osservare e analizzare in un colpo d'occhio tutte le proprietà che caratterizzano la funzione.

 

 

Il grafico di una funzione f, generalmente denotato con \mbox{Gr}(f) o con G_f, è definito come l'insieme dei punti del piano cartesiano dato da:

 

 

\mbox{Gr}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mbox{ t.c. }y=f(x)\}

 

 

In parole povere il grafico di f è il luogo geometrico dei punti del piano per cui, ad ogni ascissa x appartenente all'insieme di definizione della funzione (detto anche dominio della funzione) si associa l'ordinata y=f(x), vale a dire il valore y che la funzione f associa alla x considerata.

 

L'unione di tutti i punti (x,y) del piano individuati dalla legge y=f(x) costituisce il grafico della funzione f.

 

Qualche esempio sui grafici di funzioni

 

1) Consideriamo la funzione lineare

 

 

y=3x+2

 

 

e prendiamo l'ascissa x=1, a cui corrisponde il valore y=f(1)=5. Questa coppia ascissa-ordinata individua il punto del piano (1,5). Valutando la funzione in ogni ascissa del suo dominio (nel caso considerato, tutti i numeri reali) otteniamo il grafico di f: una retta.

 

Grafico di una funzione lineare

 

2) Prendiamo ora la funzione razionale

 

 

y=\frac{x^2}{x+2}

 

 

che ha grafico

 

Esempio di grafico di una funzione

 

Il punto (2,1) appartiene a questo grafico. Per verificarlo valutiamo la funzione in x=2: si ottiene y=f(2)=4/4=1, cioè la coppia (2,1).

 

 

Naturalmente per disegnare il grafico di una generica funzione non è necessario effettuare un numero infinito di valutazioni... ;)

 

Uno degli scopi dell'Analisi Matematica è quello di fornire gli strumenti e un modus operandi, detto studio di funzione, che permetta di tracciare il grafico qualitativo di un'assegnata funzione (tipico argomento di quinta superiore e degli esami di Matematica di base delle varie facoltà universitarie). Sappiate tra l'altro che su YM c'è un tool per disegnare il grafico di funzione online!

 

Per la vostra sopravvivenza: per alcune funzioni notevoli, le cosiddette funzioni elementari, è cosa buona e giusta tenere a mente i grafici. Tranquilli, niente di fantascientifico, perché ricorrono talmente tante volte che ricordarne il grafico diventa un automatismo!

 

Ci sono poi altre proprietà che possono tornare utili all'occorrenza e che non mancheremo di ricordare al momento opportuno. Ad esempio, nel caso delle rette, è sufficiente tenere a mente il I postulato di Euclide (per due punti del piano passa una e una sola retta), e dunque basta effettuare due valutazioni di f in due ascisse x arbitrarie.

 

 


 

Se non avete capito qualcosa o se avete dubbi, lo Staff è a vostra disposizione nel Forum; e nel frattempo ricordate che YouMath è pieno di esempi, esercizi e problemi risolti. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Au Revoir, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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