Definizione di funzione

Iniziamo introducendo un concetto fondamentale nello studio dell'Analisi: la definizione di funzione, per poi entrare nel dettaglio delle funzioni reali di variabile reale. Per farlo è necessario avere presente la definizione di funzione tra due insiemi qualsiasi, per cui prima di procedere vediamo un breve ripasso con tutti i commenti del caso.

 

Nel seguito passiamo ad enunciare la definizione mettendo in luce tutte le difficoltà che comporta quando viene studiata per la prima volta. Per agevolare la comprensione della stessa affiancheremo al linguaggio simbolico parole molto spicciole.

 

Infine concluderemo la lezione mostrando alcuni esempi di funzioni reali e come effettuare la valutazione di una funzione in un punto.

 

Definizione di funzione

 

Qual è, in generale, la definizione di funzione tra due insiemi? Una funzione è una freccia che collega due punti che si trovano in due insiemi; non basta però! Da tutti gli elementi dell'insieme di partenza deve partire una freccia e ogni freccia non può avere due punte, cioè non è possibile che ad un elemento del primo insieme siano associati più di un elemento del secondo insieme.

 

In matematichese, detti A e B i due insiemi rispettivamente di partenza e di arrivo, abbiamo che 

 

f:A\rightarrow B

 

è una funzione se e solo se, per definizione, ad ogni elemento di A è associato uno ed uno solo elemento di B.

 

La definizione di funzione che abbiamo dato si traduce in simboli nel modo seguente:

 

 

\forall a \in A \ \ \exists  ! \ b \in B \ \mbox{ tale che } \ f(a)=b

 

 

È quindi possibile avere situazioni di questo tipo:

 

Esempio di funzione tra due insiemi

 

Rappresentazione di una funzione tra due insiemi 

 

ma non di questo

 

Esempio di legge che non è una funzione

 

L'ultimo diagramma non rappresenta una funzione per due motivi: c'è un elemento dell'insieme A da cui non parte alcuna freccia e ad uno stesso elemento di A vengono associati due elementi distinti di B.

 

In generale, se un elemento b in B viene raggiunto da una freccia che parte da un elemento a di A mediante la funzione f, chiamiamo b l'immagine di a mediante la funzione f. Chiameremo poi a la preimmagine di b mediante f.


Diciamo inoltre che l'insieme degli elementi dell'insieme A ai quali è applicata la funzione f è il dominio della funzione f. L'insieme degli elementi di B prende il nome di codominio e l'insieme degli elementi di B che vengono raggiunti dalle frecce viene detto immagine della funzione f.

 

A proposito delle funzioni reali di variabile reale

 

In questo articolo parliamo in particolare di funzioni reali a variabile reale, vale a dire funzioni per cui l'insieme di definizione A ed il codominio B sono sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali (\mathbb{R}) ed, eventualemente, possono coincidere con esso.

 

 

A\subseteq\mathbb{R}\mbox{ , }B\subseteq \mathbb{R}\ \mbox{ e }\ f:A \subseteq \mathbb{R}\rightarrow B \subseteq \mathbb{R}

 

 

Deve valere sempre con la stessa regola: non è possibile avere una funzione che a un valore del primo insieme ne associ due o più del secondo!

 

Esempi di funzioni reali

 

1) La funzione identità: f(x)=x

 

Questa è una tra le più semplici funzioni, infatti dato un numero reale x lo restituisce esattamente uguale. 

 

 

2) f(x)=3x+2

 

Le funzioni di questa forma sono dette funzioni lineari; il loro grafico corrisponde a quello di una retta.

 

 

3) f(x)=\frac{x^2}{x+2}

 

A differenza delle altre due, questa è una funzione che non è definita ovunque sull'insieme dei numeri reali. Essendo infatti in presenza di un denominatore, dal suo insieme di definizione si deve escludere il punto che lo annulla: non si può dividere per zero!

 

Come valutare una funzione in un punto

 

Per valutare una funzione in un punto basta sostituire al posto della variabile indipendente (che generalmente è la x) il valore del punto in cui si vuole valutare la funzione e, svolgendo qualche calcolo, ottenere il corrispondente valore per la funzione. Ovviamente ha senso valutare una funzione solo nei punti in cui essa è definita.

 

Vediamo ora qualche esempio sulla valutazione delle funzioni in alcuni punti.

 

 

1) La funzione identità

 

f(x)=x

 

nei punti 0, 1, 2 vale

 

f(0)=0,\ \ \ f(1)=1,\ \ \ f\left(2\right)=2

 

e così via. Basta sostituire al posto di x i valori 0, 1 e 2 e ricavare i corrispondenti valori f(0), f(1), f(2).

 

 

2) Le valutazioni della funzione lineare

 

f(x)=3x+2

 

nei punti 1, 2, 3 saranno

 

f(1)=5,\ \ \ f(2)=8,\ \ \ f(3)=11

 

infatti sostituendo 1 al posto di x avremo

 

f(1)=3\cdot 1 + 2 = 3+2 = 5

 

 

3) Infine, volendo valutare la funzione

 

f(x)=\frac{x^2}{x+2}

 

nei punti 0, 1 e 2, otterremo:

 

f(0)=0,\ \ \ f(1)=\frac{1}{3},\ \ \ f(2)=\frac{4}{4}=1.

 

 

Per il momento non aggiungiamo altro, è inutile mettere troppa carne sul fuoco. Approfondiremo quest'ultimo aspetto nelle prossime lezioni, dopo aver trattato nel dettaglio lo studio del dominio di una funzione ed aver studiato i limiti.

 

 


 

Se avete delle domande non esitate: lo Staff vi aspetta nel Forum, e ricordate che qui su YM ci sono tantissime discussioni e domande risolte: potete trovare tutto quello che vi serve con la nostra barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati .........Lezione successiva


Tags: che cos'è una funzione reale di variabile reale? - Definizione di funzione e di applicazione, con esempi e diagrammi - applicazioni ben definite.