Condizione necessaria, sufficiente, necessaria e sufficiente

Un'angosciante questione che si pongono gli studenti che si devono rapportare, loro malgrado, con la Matematica consiste nel capire qual è differenza tra condizione necessaria, condizione sufficiente, e condizione necessaria e sufficiente. Queste nozioni sono qualcosa di più che strumenti base nello studio della Matematica e sono concetti che si usano nella vita di tutti i giorni.

 

Capirle veramente ti semplificherà parecchio lo studio. Puoi imparare a memoria quanto ti pare: fai un mare di fatica, ti viene la nausea, passano due giorni e ti ritrovi con il sacco vuoto e con la testa che ti scoppia. Imparare a memoria può servire per capire all'inizio, ma deve limitarsi solo a quello.

 

Qualcosa che hai capito è invece una capacità in più che ti porterai dentro per tutta la vita.

 

 

Breve parentesi.

 

Un conto è la semplice intuizione: troppe persone credono che gli utensili della logica siano accessibili solamente a coloro che si dedicano allo studio della Matematica universitaria e più in generale alle facoltà scientifiche. Attorno a questa classe di persone aleggia un'imprecisata aura di stranezza e vengono il più delle volte considerati mezzi geni.

 

Niente di più sbagliato: non c'è nessuna genialità e non è questione di figaggine. Capire la logica prima e la Matematica poi è solo una questione di attenzione e di sensibilità(Passi pure l'idea che i Matematici sono strani, ma magari ci occuperemo di questo aspetto in un altro articolo... ;) )

 

Ora vediamo insieme cosa intendevamo poche righe sopra.

 

Che vuol dire condizione necessaria, sufficiente, necessaria e sufficiente?

 

Cosa sono una condizione necessaria (N), una condizione sufficiente (S), e una condizione necessaria e sufficiente (N&S)? Intanto sono uno dei mezzi che reggono la struttura della logica dimostrativa. Ok, e poi?

 

In termini rigorosi e dialettici.

 

- Condizione necessaria (N): presupposto (ipotesi) con il quale una affermazione o proprietà (tesi) potrebbe sussistere, ma senza il quale l'affermazione non può valere.

 

- Condizione sufficiente (S): presupposto (ipotesi) con il quale una affermazione (tesi) sussiste, ma senza il quale l'affermazione (tesi) potrebbe comunque sussistere.

 

- Condizione necessaria e sufficiente (N&S): equivalenza. Il presupposto (ipotesi) e l'affermazione/proprietà (tesi) coincidono dal punto di vista logico.

 

In termini spiccioli.

 

- Condizione necessaria (N): se c'è il presupposto (ipotesi), la proprietà (tesi) può valere. Se non c'è, la proprietà (tesi) non può valere.

 

- Condizione sufficiente (S): se c'è il presupposto (ipotesi) la proprietà (tesi) vale di sicuro. Se non c'è, la proprietà (tesi) potrebbe comunque valere.

 

- Condizione necessaria e sufficiente (N&S): il presupposto (ipotesi) è la stessa identica cosa rispetto alla proprietà (tesi). Uno implica l'altra, e viceversa!

 

Ovviamente lo studente sagace avrà già intuito che una condizione necessaria e sufficiente è quanto di più forte possa esistere per formulare un asserto - modo carino di dire affermazione logica. Di contro, dimostrare che un'ipotesi è condizione necessaria e sufficiente rispetto a una tesi è molto più difficile rispetto agli altri tipi di dimostrazioni: nel caso N&S devi dimostrare l'implicazione diretta e poi l'implicazione inversa!


Nei nostri ragionamenti facciamo sempre ricorso alle nozioni di condizione necessaria, sufficiente, e necessaria e sufficiente!

 

 

Vediamolo con un esempio. Facciamo finta che preparare un risotto sia un procedimento dimostrativo. Il risotto è la nostra tesi. Sappiamo che per fare un risotto ci vogliono fuoco, pentola, acqua, sale, riso, manovalanza (sì, hai ragione, non stiamo parlando di un risotto alla Masterchef).

 

Nella similitudine che stiamo considerando uno qualsiasi dei sei ingredienti è una condizione necessaria per avere il risotto. Se ad esempio ho l'acqua, posso avere il risotto (non vedere il "posso" come "di sicuro", vedilo come "c'è speranza"); se non ho l'acqua, non posso avere il risotto ed è certo che non avrò il risotto.

 

Ora immaginiamo che ci sia una cuoca che ha in uno zaino tutti gli ingredienti, sa fare il risotto ed è disposta a prepararcelo:

 

- cuoca+ingredienti+capacità+disponibilità significano per noi risotto pronto. È una certezza!

 

- D'altra parte però potremmo avere gli ingredienti e la voglia di preparare il risotto, dunque non avere il pacchetto cuoca+ingredienti+capacità+disponibilità non significa che resteremo a digiuno. Non avere il pacchetto completo non significa non poter avere il risotto!

 

 

Altro esempio molto rapido. Essere un ladro è condizione sufficiente per essere un fuorilegge, infatti se sei un ladro, allora ciò basta per dire che sei un fuorilegge. Se non sei un ladro potresti però essere un assassino, dunque un fuorilegge; di conseguenza se manca la condizione "essere un ladro" potrebbe comunque esserci la proprietà "essere un fuorilegge".

 

È sufficiente essere ladri per essere fuorilegge? Sì.

 

 

E come condizione necessaria e sufficiente? Per avere una condizione N&S il modo più semplice è quello di negare una affermazione in una logica duale. Una logica duale è un sistema di ragionamento in cui vale il principio del terzo escluso (tertium non datur), e - cara grazia! - questo sistema non basta per descrivere il mondo. Ma facciamo finta che esistano solamente due colori: bianco e nero. Allora un esempio di condizione N&S è "bianco equivale a non nero": se è bianco è non nero, se è non nero allora è bianco. Equivalenza logica!

 

 

Esempi in Matematica

 

Condizione N: "La continuità in un punto è condizione necessaria per la derivabilità."

 

Se una funzione è continua in un punto, potrebbe essere derivabile; se non è continua in un punto puoi dire addio al calcolo della derivata in quel punto...

 

Condizione S: "Condizione sufficiente affinchè luogo di punti sia un triangolo è che sia un triangolo equilatero".

 

Si commenta da solo!

 

Condizione N&S: uno dei numerosi esempi che si trovano in Matematica, ad esempio nell'Analisi Superiore, è dato dal seguente teorema: uno spazio di Hilbert infinito dimensionale è separabile se e solo se (condizione necessaria e sufficiente) ammette un sistema ortonormale completo che sia al più numerabile.



Come si riassume in Matematica quel che abbiamo detto?

 

A è condizione necessaria per B se vale B\Rightarrow A ma non necessariamente vale A\Rightarrow B.

 

A è condizione sufficiente per B se vale A\Rightarrow B ma non necessariamente vale B\Rightarrow A.

 

A è condizione necessaria e sufficiente per B se vale B\Leftrightarrow A.

\Box

 

 

Che si abbia a che fare con ragionamenti quotidiani o con importanti risultati teorici della Matematica, si usano sempre e comunque le condizioni N, S, N&S. Fermarsi di tanto in tanto ad inquadrare i nostri ragionamenti in quest'ottica è un utile esercizio che ci aiuterà sicuramente a rafforzare le nostre capacità logiche. ;)

 

 


 

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अलविदा, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Tags: logica Matematica di base: che cosa sono le condizioni necessarie, sufficienti e le condizioni necessarie e sufficienti?