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Grafico immediato di funzioni semplici (prima parte)

Per disegnare il grafico di una funzione, in genere, è richiesto un procedimento specifico piuttoto lungo, che attraverso una serie di considerazioni analitiche permette di tracciare il grafico qualitativo. Se però la funzione con cui abbiamo a che fare non è troppo complicata, ed è costituita da funzioni elementari e dalle principali operazioni algebriche, possiamo disegnarla facilmente con semplici considerazioni. In questa lezione, divisa in due parti, ci proponiamo di mostrare come applicare il metodo del grafico intuitivo.

 

Per cominciare, spiegheremo come ricavare i grafici intuitivi di funzioni contenenti: logaritmi, funzioni esponenziali, cubiche, moduli e somme di moduli. Nella seconda parte, invece, ci occuperemo delle funzioni costituite da funzioni trigonometriche e dalle principali operazioni algebriche.

 

In questo articolo daremo per scontato che voi sappiate già tracciare i grafici delle funzioni elementari, se non lo sapete fare potete consultare la sezione funzioni elementari - grafici e proprietà. Sei di fretta? Sappi che puoi anche consultare il formulario sul grafico intuitivo.

 

Metodo per disegnare il grafico intuitivo di funzioni semplici

 

Torniamo a noi: vogliamo capire come disegnare il grafico di funzioni che sono il risultato di operazioni tra funzioni elementari, dove per operazioni intendo quelle tra funzioni che trovate nell'articolo operazioni tra funzioni reali di variabile reale.

 

Per svolgere questi esercizi bisonga procedere per passi. In sostanza la difficoltà sta nel riuscire a spezzare il problema in parti così semplici da riuscire a disegnarle senza fare calcoli. Abbiamo deciso di utilizzare degli esempi, che sono esercizi standard, cioè quelli che probabilmente troverete in una verifica o in un esame, in questo modo dovreste riuscire a sviluppare in fretta tutta la tecnica necessaria per svolgere gli esercizi senza difficoltà.

 

Grafico immediato di funzioni con logaritmi

 

Partiamo con un esempio: f(x)=\ln(|x+3|)-5. Come possiamo scomporre questa funzione?

 

1. Sappiamo disegnare il grafico del logaritmo, quindi il primo passo è sicuramente disegnare

 

\ln{(x)}

 

Grafico del logaritmo

 

 

2. Ora pensiamo a come disegnare il logaritmo del modulo di x. Non è difficile: se il modulo sta all'interno del logaritmo otteniamo semplicemente una simmetrizzazione della funzione rispetto all'asse y.

 

\ln{|x|}

 

Grafico del logaritmo del modulo di x

 

 

Nota Bene\ln{|x|}\neq |\ln{(x)}|...i due grafici sono diversi!

 

3. Notiamo che l'argomento del logaritmo non è solo |x|, ma |x+3|. Quando si somma una costante in questo modo significa che dobbiamo spostare l'intero grafico a SINISTRA di un valore pari a quello della costante, in questo caso 3:

 

 

\ln{|x+3|}

 

 

Logaritmo del modulo di x+3

 

 

4. Per complicare le cose abbiamo anche sottratto 5 al tutto. Così come sommare una costante nell'argomento del logaritmo equivale a una traslazione a sinitra (quando la costante è positiva), o a destra (se è negativa); abbiamo che sommare una costante al di fuori del logaritmo implica una traslazione verso il basso se è negativa e verso l'alto se è positiva! Graficamente abbiamo:

 

(\ln{|x+3|})-5

 

 

Grafico del logaritmo del modulo di x-3, -5

 

 

In questo grafico riassumiamo tutti i passaggi che abbiamo fatto per arrivare alla rappresentazione della funzione:

 

 

Grafico del logaritmo naturale del modulo x+3, meno 5

 

 

Grafico intuitivo di funzioni con esponenziali

 

In questo caso, consideriamo come esempio f(x)=e^{x+5}-2

 

1. Per prima cosa disegnamo il grafico della funzione esponenziale, vedete che anche in questo caso il punto sarà capire cosa succede quando sommiamo delle costanti come argomento della funzione e quando invece le sommiamo a tutta la funzione.

 

e^{x}

 

 

Grafico della funzione esponenziale

 

 

2. Sommiamo +5 all'esponente ottenendo una traslazione verso sinistra, come succedeva per il logaritmo nell'esempio precedente:

 

e^{x+5}

 

 

Grafico dell'esponenziale con somma per una costante all'esponente

 

 

3. Sommiamo -2 all'intera funzione ottenendo una traslazione verso il basso:

 

e^{x+5}-2

 

 

Grafico di una funzione traslata verso il basso

 

 

Nel grafico seguente riassumiamo tutti i passaggi svolti:

 

 

Tutti i passaggi in un solo grafico, e^(x+5)-2

 

Grafico intuitivo di funzioni con termini al cubo

 

Prendiamo come riferimento la funzione f(x)=|(x-2)^3-1|

 

1. Disegnamo il cubo di x, vale a dire il grafico della funzione cubica:

 

x^3

 

 

Grafico della funzione cubica

 

 

2. Sommiamo -2 alla base della potenza, ottenendo una traslazione a destra del grafico:

 

(x-2)^3

 

 

Cubica -2 nella base

 

 

3. Sommiamo -1 a tutta la funzione, ottenendo una traslazione verso il basso:

 

 

(x-2)^3-1

 

 

Grafico con traslazione verso il basso

 

 

4. Disegnamone il modulo ribaltando la parte negativa della funzione rispetto all'asse x:

 

|(x-2)^3-1|

 

 

Grafico del modulo applicato a una funzione

 

 

Come prima nell'ultimo grafico riportiamo tutti i passaggi:

 


Tutti i passggi del metodo del grafico intuitivo

 

Grafico intuitivo di funzioni con somme di moduli

 

Per concludere la prima parte della lezione, prendiamo una funzione data dalla somma di due moduli: f(x)=|x|+|x+5|

 

1. Disegnamo la bisettrice del primo e terzo quadrante, cioè y=x:

 

 

bisettrice del primo e del terzo quadrante

 

 

2. Disegnamo il grafico del modulo di x

 

 

Grafico del modulo di x

 

 

3. Disegnamo il grafico del modulo della seconda retta: |x+5|

 

 

Grafico del modulo di x+5

 

 

4. La parte in cui si sovrappongono le due funzioni diventa dopo aver svolto la somma, una retta parallela all'asse x a quota +5:

 

 

Grafico della somma di due moduli

 

 

Riassumendo:

 

 

Riassunto dei passaggi del metodo del grafico intuitivo

 

Sintesi dei passaggi del metodo del grafico immediato

 

  • Se si somma una costante all'argomento di una funzione elementare, (ad esempio log(x+4)...) bisogna spostare l'intero grafico a sinistra se è positiva, a destra se è negativa, di una distanza pari al valore della costante.
     
  • Se si somma una costante a tutta la funzione, (ad esempio log(x)+4), allora il grafico si sposterà verso l'alto se la costante è positiva, verso il basso se è negativa.
     
  • Se il modulo compare solo per l'argomento di una funzione elemtare bisognerà disegnarla simmetrica all'asse y, (ad esempio log(|x|)), mentre se il modulo è di tutta la funzione, (ad esempio |log(x)|), sarà sufficiente ribaltare rispetto all'asse x la parte negativa della funzione.

 

 

Ehi, pronto per leggere la seconda parte della lezione? Nel frattempo se volete assimilare i concetti che abbiamo visto potete giocare un po' con il tool per disegnare i grafici online...

 

 

Per qualunque necessità potete aprire una discussione nel Forum e chiedere aiuto allo Staff e a tutta la Community che popola YM, e non dimenticate di cercare qui su YM con l'apposita barra di ricerca: abbiamo risolto tantissimi problemi, potrebbe già esserci la risposta che cercate. Wink

 

\alpha

 

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Tags: metodo del grafico immediato per rappresentare funzioni semplici nel piano cartesiano senza svolgere lo studio completo, ossia il metodo del grafico intuitivo.

 

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