Funzione composta

La funzione composta è una funzione che si ottiene mediante l'operazione di composizione di due funzioni. In sintesi la funzione composta si definisce applicando la seconda funzione alle immagini della prima.

 

Tra le varie operazioni tra funzioni abbiamo introdotto la composizione di funzioni: lo scopo di questo articolo è definire la nozione di funzione composta e di spiegare come si calcola la composizione di due o più funzioni reali.

 

Com'è definita la funzione composta

 

Consideriamo due funzioni

 

 

\\ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ f:x\mapsto y\\ \\ g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ g:y\mapsto z

 

 

Intanto, non preoccupatevi se abbiamo indicato la seconda funzione, la g, come z=g(y). È semplicemente il solito modo per indicare l'azione di una funzione, in questo caso la g. Diversificare i nomi delle immagini serve solo a diversificare le azioni delle due funzioni: chiamo y il valore che la funzione f associa ad un generico valore x (questa è l'azione della funzione f) e chiamo z il valore che la funzione g associa ad un generico valore y.

 

Avete notato che abbiamo indicato con y l'immagine della funzione f e ancora con y il generico elemento di partenza della g. Non è un caso, tra poco sarà chiaro il perché... ;)

 

Per non cadere in confusione, specifichiamo un paio di cose. Chiamiamo U=Dom(f) il dominio di f (al massimo U è tutto \mathbb{R}), e chiamiamo V=Dom(g) il dominio di g (al massimo è tutto \mathbb{R}) che deve essere contenuto nel codominio di f. Quindi scriviamo per essere più precisi:

 

 

\\ f:U\subseteq \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ f:x\mapsto y\\ \\ g:V\subseteq \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ g:y\mapsto z

 

 

Ora date un'occhiata alle seguenti immagini

 

 

Funzione composta

 

 

che indicano in modo generale come si comportano f e g, dove "vivono" (partenza - dominio) e dove "arrivano" (arrivo - codominio). Noi vogliamo definire la funzione composta

 

 

z=h(x)=g(f(x))

 

 

che si indica anche con h(x)=g\circ f (x). Intanto vediamo cosa ci suggerisce la scrittura con la quale indichiamo la funzione composta: la funzione composta h è una funzione di x. Vive nello stesso "livello" in cui vive la funzione f, e attenzione al fatto che "livello" non vuol dire dominio.

 

Per definire la funzione composta h, diciamo come si deve comportare:

 

- ad una generica x associa un valore y mediante l'azione di f;

 

- al valore y=f(x) viene applicata l'azione di g, e quindi il valore y appena individuato viene fatto finire in un valore z determinato dalla funzione g.

 

La funzione composta h:=g\circ f (leggi g dopo f o anche g applicata a f) manda quindi un generico valore x in un generico valore z, secondo la precedente regola. Chiaro? Dovrebbe, e con la prossima figura lo sarà ancora di più

 

 

Composizione di funzioni

 

 

Repetita iuvant: data una x, la funzione h=g\circ f prende la x, trova la y corrispondente mediante la f e associa z mediante g alla y individuata da f. Ci sono cinque aspetti che dobbiamo trattare:

 

1) Esempi.

2) Come non prendere bidoni.

3) La composizione è un'operazione commutativa (se cambio l'ordine di composizione ottengo la stessa funzione composta)?

4) Qual'è il dominio della funzione composta?

5) Come faccio a comporre più di due funzioni?

 

Esempi di funzioni composte


I) Consideriamo le funzioni y=f(x)=e^{x},\ \ z=g(y)=y+1.

 

La funzione composta è data da

 

z=h(x)=g(f(x))=e^{x}+1



II) Consideriamo le funzioni y=f(x)=x+5,\ \ z=g(y)=e^{y}.

 

La funzione composta è data da

 

z=h(x)=g(f(x))=e^{x+5}



III) Consideriamo le funzioni y=f(x)=\sin(x),\ \ z=g(y)=\frac{y+\sqrt{y}}{y^2}.

 

La funzione composta è data da

 

z=h(x)=g(f(x))=\frac{\sin(x)+\sqrt{\sin(x)}}{(\sin(x))^2}



IV) Consideriamo le funzioni y=f(x)=\ln(x),\ \ z=g(y)=\frac{1}{y^3+2y-4}.

 

La funzione composta è data da

 

z=h(x)=g(f(x))=\frac{1}{(\ln(x))^3+2\ln(x)-4}=\frac{1}{(\ln(x))^3+\ln(x^2)-4}

 

dove nell'ultima uguaglianza abbiamo usato una notissima proprietà dei logaritmi.

 

Come non prendere bidoni quando si compongono due funzioni


Adesso cerchiamo di astrarre il tutto, e cerchiamo di perdere la dipendenza dal modo di scrivere con preimmagini e immagini diversificate. In altri termini, se abbiamo capito cos'è la composizione di funzioni, non indichiamo più le funzioni di partenza diversificando come con y=f(x)\mbox{ e }z=g(y).

 

Scriviamo soltanto

 

 

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ y=f(x),\ \ \ g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ y=g(x).

 

 

senza fare distinzioni tra x, y e z. Tanto non è un problema: il solo fatto di indicare la funzione composta con la dicitura h=g\circ f ci impone l'ordine di composizione, che si legge g applicata ad f.

 

 

Ad esempio

 

V) Consideriamo le funzioni y=f(x)=\frac{x}{\ln(x+1)},\ \ y=g(x)=\cos(x).

 

La funzione composta è data da

 

h(x)=g\circ f(x)=g(f(x))=\cos\left(\frac{x}{\ln(x+1)}\right)


Se invece consideriamo la funzione composta s=f\circ g con le stesse funzioni troviamo che

 

s(x)=f\circ g(x)=f(g(x))=\frac{\cos(x)}{\ln(\cos(x)+1)}

 

Questo inoltre basta per rispondere alla domanda. ;)

 

La composizione di funzioni è un'operazione commutativa?


No. L'esempio precedente mostra che in generale f\circ g\neq g\circ f.


Qual è il dominio della funzione composta?


La funzione composta è pur sempre una funzione di variabile reale a valori reali, dunque avrà un suo dominio (se non sapete cos'è il dominio, vi consigliamo di leggere l'articolo correlato; se non ve ne importa niente, continuate pure a vostro rischio e pericolo!).


Se le funzioni y=f(x)\mbox{ e }y=g(x) non hanno espressioni mastodontiche, basta trovare la funzione composta y=g(f(x)) oppure y=f(g(x)) a seconda di quello che è richiesto. Si ha così una funzione con variabile x, ok? Sarà sufficiente determinarne il dominio in modo standard!

 

Vediamo un esempio: consideriamo le funzioni

 

y=f(x)=\frac{1}{x-1}\ \mbox{ e }\ y=g(x)=\ln(x)

 

La funzione composta g\circ f è data da

 

g(f(x))=\ln\left(\frac{1}{x-1}\right)

 

che ha dominio x>1 (devono valere simultaneamente la regola del denominatore e la regola del logaritmo, prova a trovarlo per esercizio!).

 

Come faccio a comporre più funzioni?


Niente di nuovo: basta saper comporre tre funzioni y=f(x),\ y=g(x),\ y=h(x). Se sapete comporne tre allora siete in grado di comporne quante ne volete. L'importante è sempre capire l'ordine da seguire nella composizione, ricordatevi che si parte dalla funzione più interna fino ad arrivare a quella più esterna.

 

Sostanzialmente, se ad esempio vogliamo calcolare y=f(g(h(x))) non dobbiamo fare altro che:

 

- prendere l'espressione di h(x) e sostituirla al posto della x nell'espressione di g(x);

 

- siamo saliti di un livello: prendiamo l'espressione che abbiamo appena trovato (altro non è che g(h(x)) ) e sostituiamola al posto della x nell'espressione di f(x);

 

- abbiamo appena trovato l'espressione della funzione composta y=f(g(h(x))).

 

Suggerimento: ad ogni passaggio, se potete semplificare qualcosa, fatelo!

 

Ad esempio, se abbiamo

 

f(x)=\cos(x),\ \ g(x)=x+1,\ \ h(x)=\ln(x)

 

allora la funzione composta y=f(g(h(x))) è data da

 

f(g(h(x)))=\cos\left(\ln(x)+1\right)

 

 


 

Con questo, carissime e carissimi, dovrebbe essere tutto. Se manca qualcosa o se volete spiegazioni potete tranquillamente aprire una discussione nel Forum, e cercare tra le migliaia di problemi che abbiamo risolto avvalendovi della fedelissima barra di ricerca interna.

 

 

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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