Esempi di operazioni tra funzioni, significato geometrico

Vediamo qualche esempio sulle operazioni tra funzioni e il significato geometrico corrispondente a ciascuna operazione. Delle operazioni tra funzioni ne abbiamo parlato nella precedente lezione.

 

 

I) Consideriamo la funzione seno e la funzione coseno

 

f(x)=\sin(x)\ \mbox{ e }\ g(x)=\cos(x)

 

vogliamo calcolare la funzione somma f+g.

 

Dalla definizione che abbiamo dato, essendo il dominio di entrambe le funzioni l'intero asse reale, ne consegue che l'intersezione dei domini è ancora tutto l'asse reale e risulta per ogni x\in\mathbb{R}

 

(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\sin(x)+\cos(x)

 

Graficamente otteniamo

 

Esempio sulla somma di funzioni

 

 

II) Consideriamo la funzione

 

f(x)=x^2-2

 

e calcoliamone l'opposto algebrico

 

(-f)(x)=-f(x)=-(x^2-2)=-x^2+2

 

Ad ogni immagine della funzione f dobbiamo associare il valore opposto.

 

Graficamente abbiamo che i punti (x,f(x)) vengono mandati nei punti (x,-f(x)), per cui sostanzialmente otteniamo il grafico simmetrico rispetto all'asse x del grafico della funzione di partenza

 

Esempio di funzione opposta

 

 

III) Abbiamo visto che il prodotto di funzioni non si comporta tanto bene quanto la somma con i domini, cioè non basta considerare l'intersezione dei domini delle funzioni coinvolte.

 

Consideriamo le funzioni

 

f(x)=x\ \mbox{ e }\ g(x)=\frac{1}{x}

 

quindi Dom(f)=\mathbb{R}\mbox{ e }Dom(g)=\mathbb{R}-\{0\}. Consideriamo la funzione prodotto f\cdot g

 

(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=x\cdot (\frac{1}{x})=1

 

Il prodotto è la funzione costantemente uguale a 1, dunque il dominio non è l'intersezione tra Dom(f) e Dom(g). Per il resto non c'è molto altro da dire. ;)

 

 

IV) Nel quoziente tra funzioni la patologia sui domini è ancora più evidente. Consideriamo ad esempio

 

f(x)=x\ \mbox{ e }\ g(x)=x^3-x

 

per cui la divisione tra le espressioni analitiche delle due funzioni fornisce

 

\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{x^2-1}

 

Il dominio delle due funzioni è l'intero asse reale, mentre il dominio del quoziente è \mathbb{R}- \{+1,-1\}.

 

 

V) Consideriamo la funzione logaritmica

 

f(x)=\ln(x)

 

e sommiamo lo scalare +3. La somma della funzione con lo scalare equivale alla funzione

 

(f+3)(x)=f(x)+3=\ln(x)+3

 

Osserviamo cosa accade graficamente

 

 

Esempio di traslazione verticale di una funzione

 

Dal grafico si vede che il risultato consiste in una traslazione verso l'alto del grafico della funzione f.



VI) Consideriamo ancora la funzione logaritmo e proviamo a moltiplicarla per uno scalare, ad esempio +3.

 

(f\cdot 3)(x)=3\cdot f(x)=3\ln(x)

 

Come si rappresentano le funzioni y=\ln(x)\mbox{ e }y=3ln(x)\ ?

 

 

Esempio di prodotto di una funzione per una costante



VII) Ora vediamo un esempio sul valore assoluto di una funzione. Lavoriamo su

 

f(x)=\sin(x)

 

e, in accordo con quanto abbiamo visto nella precedente lezione

 

|f|(x)=|f(x)|=|\sin(x)|

 

Ora possiamo tranquillamente fare riferimento alla definizione di valore assoluto

 

|f|(x)=|f(x)|=|\sin(x)|=\begin{cases}+\sin(x)\mbox{ dove }\sin(x)>0\\ 0\mbox{ dove }\sin(x)=0\\ -\sin(x)\mbox{ dove }\sin(x)<0\end{cases}

 

Dal punto di vista grafico passare al modulo di una funzione significa considerare il simmetrico del grafico della stessa rispetto all'asse delle x

 

 

Esempio di applicazione del valore assoluto di una funzione

 

 

VIII) Per gli esempi riguardanti la funzione composta vi rimando all'articolo sulla composizione di funzioni.

 

 


 

Importante: non sottovalutate mai il significato delle operazioni tra funzioni. Esse infatti ricorreranno sempre e dovunque nello studio dell'Analisi Matematica, ed inoltre conoscerne il significato grafico ci permetterà di risparmiare parecchi conti nella pratica. Non a caso torneremo su questo argomento in una delle successive lezioni, quella sul grafico intuitivo.

 

Per qualunque dubbio o perplessità potete trovare le risposte ai vostri dubbi con la barra di ricerca interna. Qui su YM abbiamo risolto migliaia e migliaia di esercizi! ;)

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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