Operazioni tra funzioni

Le operazioni tra funzioni sono le normali operazioni algebriche effettuate però tra due o più funzioni, e che restituiscono come risultato una nuova funzione. A partire dagli operandi è possibile trarre opportune conclusioni sul dominio e sull'immagine della funzione risultato.

 

In questo articolo vogliamo studiare le principali operazioni tra funzioni e vedere com'è definita la funzione risultante in ciascuno dei seguenti casi:

 

1) somma;

2) sottrazione e opposto;

3) moltiplicazione;

4) quoziente o equivalentemente divisione;

5) somma per uno scalare;

6) moltiplicazione per uno scalare;

7) modulo di una funzione;

8) composizione di funzioni.

 

La prima necessità che abbiamo è quella di considerare due generiche funzioni reali a variabile reale, siano f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\mbox{ e }g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} . Non preoccupatevi per questa notazione: per indicare una funzione abbiamo sempre usato l'espressione f(x), ma g(x) è esattamente la stessa cosa, cioè g(x) è soltanto un'espressione contente l'incognita reale x.

 

 

Iniziamo ad analizzare una per una le operazioni elencate sopra, non spaventatevi, affiancate a questa tirata teorica gli esempi che trovate nella lezione con gli esempi sulle operazioni tra funzioni, tenete aperte entrambe le schede in modo da poter confrontare teoria ed esempi passo dopo passo, vedrete che in alcuni casi la pratica sarà sicuramente più chiara della teoria. ;)

 

 

1) Somma di funzioni

 

Per capire cosa significa sommare due funzioni dobbiamo semplicemente dare un senso alla scrittura f+g.

 

In questo caso il significato è più che intuitivo: si tratta semplicemente di sommare il valore che le due funzioni assumono punto per punto, ovviamente considerando x\in Dom(f)\wedge x\in Dom(g), (dove \wedge significa e, ossia devono valere entrambe le condizioni).

 

In simboli

 

Dom(f+g)=Dom(f)\cap Dom(g)

 

cioè l'insieme dei punti comuni a entrambi i domini. Tale punto sarà definito semplicemente da

 

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

 

 

2) Sottrazione di funzioni e opposto di una funzione

 

Sapete bene che, quando si parla di somma in matematica, si intende sempre somma con segno. Per intenderci è sempre possibile scrivere   5-3 come 5+(-3). Lo stesso avviene quando si parla di differenza di due funzioni, dunque scrivere

 

f-g

 

equivale a scrivere

 

f+(-g)

 

A questo punto ci siamo ricondotti al caso della somma e dobbiamo semplicemente capire cosa significa la scrittura -g.

 

Il segno "-" davanti alla funzione significa semplicemente che per ogni immagine g(x)\mbox{, dove } x\in Dom(g) , dobbiamo considerare il valore opposto -g(x).

 

Adesso che abbiamo capito come è definito l'opposto di una funzione, per ottenere la differenza tra le due funzioni sarà sufficiente sommare f -g.

 

 

3) Prodotto di funzioni

 

Date le solite due funzioni f g vogliamo capire cosa rappresenti il prodotto f\cdot g.

 

Ancora una volta viene in nostro aiuto l'intuizione, infatti è immediato pensare che questa scrittura si possa tradurre direttamente sulle immagini come

 

(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)

 

E per quanto riguarda il dominio? In questo caso non è vero in generale che il dominio della funzione prodotto coincide con l'intersezione dei domini delle singole funzioni, e saremo costretti a calcolarlo di volta in volta, quindi

 

\mbox{in generale }\ Dom(f\cdot g)\neq Dom(f)\cap Dom(g)

 

 

4) Divisione tra funzioni

 

Il discorso è del tutto analogo a quello appena fatto per il prodotto. Il quoziente tra due funzioni si scriverà come \frac{f}{g}, e il dominio Dom\left(\frac{f}{g}\right) non coincide in generale con l'intersezione di Dom(f) Dom(g). Si tratta piuttosto di un nuovo dominio che dovremo calcolare ogni singola volta per dare senso all'espressione

 

\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

 

dove

 

\mbox{in generale }\ Dom\left(\frac{f}{g}\right)\neq Dom(f)\cap Dom(g)

 

 

5) Somma con uno scalare (una costante)

 

Con somma con uno scalare si intende soltanto la somma di una funzione con un numero reale, che chiameremo \alpha, e non x, in modo da non fare confusione tra il primo (che è soltanto un numero FISSATO) e l'incognita della funzione.

 

L'espressione f+\alpha si traduce semplicemente nella valutazione su x della funzione, cioè

 

(f+\alpha)(x)=f(x)+\alpha

 

e non (f+\alpha)(x)=f(x)+\alpha\cdot xIn parole povere ad ogni valore assunto dalla funzione viene aggiunto il numero fissato α.

 

Per quanto riguarda la sottrazione tra una funzione ed uno scalare è sufficiente pensare a

 

f-\alpha

 

come

 

f+(-\alpha)

 

e ci riconduciamo in questo modo al caso della somma con uno scalare.

 

 

6) Moltiplicazione per uno scalare

 

L'operazione \alpha\cdot f consiste semplicemente nel moltiplicare per α ogni immagine della funzione calcolata sul suo dominio, ottenendo così

 

(\alpha\cdot f)(x)=\alpha\cdot f(x)

 

 

7) Modulo di una funzione

 

Prendere il valore assoluto di una funzione, ossia considerare |f|, significa calcolare il modulo dell'immagine per ogni punto appartenente al dominio di f, cioè

 

|f|(x)=|f(x)|

 

 

8) Composizione di funzioni

 

Siamo arrivati al caso più delicato, al quale abbiamo dedicato un'intera lezione a parte. Qui ne proponiamo qualche cenno veloce e per tutti gli approfondimenti del caso sapete cosa fare. ;)

 

Consideriamo le solite funzioni

 

f:U\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\ \mbox{ e }\ g:V\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

 

dove U=Dom(f)\mbox{ e }V=Dom(g). La composizione di f g si indica come

 

f\circ g: U\rightarrow\mathbb{R}

 

e il valore della funzione composizione è definito come

 

(g\circ f)(x)=g(f(x))

 

e si legge g composto f o anche g dopo f. In buona sostanza si tratta di applicare a x prima la funzione f e poi la funzione g.

 

Come si comporta il dominio di una funzione composta? Abbiamo detto che comporre due funzioni significa prima applicarne una e dopo l'altra, benissimo: dunque dovremo avere che x\in Dom(f)\mbox{ e }f(x)\in Dom(g).

 

 


 

Per vedere gli esempi, se non l'avete già fatto, date uno sguardo alla lezione successiva. Se invece avete dubbi potete cercare le risposte alle vostre domande con la barra di ricerca interna: abbiamo risolto migliaia di esercizi... ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente .........Lezione successiva


Tags: come si fanno le operazioni tra funzioni e come sono definite le operazioni tra funzioni reali di variabile reale.