Tipi di monotonia

La monotonia di una funzione è una proprietà che riguarda l'andamento di crescita e decrescita della funzione, e che può essere riferita al suo dominio o ad un intervallo contenuto in esso. 

 

Nel precedente articolo (prima parte della lezione) abbiamo presentato la nozione di monotonia in generale e la definizione di funzione crescente e decrescente f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ y=f(x).

 

Abbiamo trattato la monotonia da un punto di vista geometrico sull'asse delle ascisse, parlando prima di monotonia globale (su tutto il dominio della f) e successivamente di monotonia locale (basta trovare un intervallo del dominio in cui la funzione cresce o decresce). Ora vediamo di entrare nel dettaglio e di fornire un'ulteriore caratterizzazione.

 

I quattro tipi di funzioni monotone

 

Ora faremo vedere che è necessario essere più precisi definendo quattro tipi di monotonia:

 

- funzione monotona crescente

- funzione monotona non decrescente

- funzione monotona decrescente

- funzione monotona non crescente

 

Oltre a questi casi, rimane naturalmente il tipo

 

- assenza di monotonia in senso globale (in questo caso guardiamo la monotonia locale).

 

Innanzitutto: se una funzione non è monotona su tutto il dominio, possiamo sempre trovare degli intervalli in cui si presenta uno dei quattro tipi di monotonia elencati sopra.


Le prime due parlano della crescita di una funzione, le ultime due della decrescita. Attenzione: i nomi possono trarre in inganno... Dopo averle introdotte, vedremo un trucchetto che permette di saperle riconoscere al volo e di non confonderle.

 

Perché introdurre quattro tipi di monotonie? Non basta dire che una funzione cresce o decresce? No, non basta. Se ci limitassimo a dire che una funzione cresce (su tutto il dominio o su un intervallo, non importa) non saremmo in grado di catalogare l'andamento di tutte le funzioni che la Matematica può partorire.

 

Vediamo un esempio, e consideriamo la funzione in figura.

 

 

Funzione monotona non decrescente

 

 

Intanto è monotona, perchè soddisfa la condizione di monotonia che abbiamo presentato nella prima parte dell'articolo: comunque prendi x_{1}, x_{2} nel dominio di f con x_{1} a sinistra di x_{2}, ossia x_{1}<x_{2}, risulta che f(x_{1})\leq f(x_{2}).

 

Ora consideriamo la bisettrice del primo e del terzo quadrante, vale a dire la funzione identità y=x.

 

 

Funzione monotona crescente

 

 

Anch'essa è monotona globalmente, infatti vale la prima condizione di monotonia, esattamente come nell'esempio precedente. C'è però un dettaglio che distingue le due funzioni. Mentre la prima ha immagini f(x) che diventano più grandi o restano uguali andando da sinistra a destra sull'asse delle x, la seconda ha immagini f(x) che diventano più grandi e basta. Si dice in quest'ultima situazione che le immagini crescono strettamente, ed è un dettaglio non indifferente...

 

Prendiamo il seguente grafico

 

 

Funzione localmente monotona

 

 

che non è monotona, ossia non è monotona su tutto il dominio perchè decresce e cresce, quindi  globalmente non soddisfa né la prima né la seconda condizione della definizione di monotonia.

 

Prendendo opportuni intervalli la funzione è però localmente monotona. Infatti se si considera l'intervallo giallo unito a quello blu, la funzione è monotona e soddisfa la condizione: comunque prendi x_{1},\mbox{ }x_{2} nell'intervallo con x_{1} a sinistra di x_{2}, ossia x_{1}<x_{2}, risulta che f(x_{1})\geq f(x_{2}). Sull'intervallo rosso la funzione cresce strettamente, quindi è sicuramente monotona (prima condizione della definizione).

 

Se ci limitiamo a considerare l'intervallo blu, qui la funzione è costante. Ed è monotona in questo intervallo (localmente) perchè soddisfa sia la prima che la seconda condizione della definizione di monotonia. In quelle condizioni è infatti richiesto che, prendendo due ascisse qualsiasi tali che x_{1} sia a sinistra di x_{2}, risulta che f(x_{1})\leq f(x_{2}) (prima condizione) oppure f(x_{1})\geq f(x_{2}) (seconda condizione). Maggiore uguale o minore uguale, rispettivamente. Nello specifico risulta f(x_{1})=f(x_{2}), dunque entrambe sono soddisfatte.

 

Bando alle ciance, avete intuito il motivo di introdurre le definizioni! ;)

 

 

Definizione (funzione monotona crescente)

 

Diciamo che una funzione y=f(x) è monotona crescente su un intervallo I del suo dominio se per ogni x_{1}, x_{2}\mbox{ con }x_{1}<x_{2} risulta che f(x_{1})<f(x_{2}).

 

 

Definizione (funzione monotona non decrescente)

 

Diciamo che una funzione y=f(x) è monotona non decrescente su un intervallo I del suo dominio se per ogni x_{1}, x_{2}\mbox{ con }x_{1}<x_{2} risulta che f(x_{1})\leq f(x_{2}).

 

 

Definizione (funzione monotona decrescente)

 

Diciamo che una funzione y=f(x) è monotona decrescente su un intervallo I del suo dominio se per ogni x_{1}, x_{2}\mbox{ con }x_{1}<x_{2} risulta che f(x_{1})>f(x_{2}).

 

 

Definizione (funzione monotona non crescente)

 

Diciamo che una funzione y=f(x) è monotona non crescente su un intervallo I del suo dominio se per ogni x_{1}, x_{2}\mbox{ con }x_{1}<x_{2} risulta che f(x_{1})\geq f(x_{2}).

 

 

Occhio ai minori e maggiori stretti o uguali!

 

Dato che viviamo nell'era dell'immagine, un bel grafico varrà più di mille parole... E come diceva Il grande Hilbert: "Iniziare sempre con gli esempi più semplici."

 

 

Monotonia per intervalli

 

Trucchetto per riconoscere i vari tipi di monotonia

 

Ed ecco il trucco per non fare confusione. Perlomeno: quando ero una delle tante matricole al dipartimento di Matematica della mia università avevo pensato a questo metodo. Con me funzionava, quindi perchè non dovrebbe funzionare anche per voi? :)

 

Monotona crescente = cresce e basta.

Monotona non decrescente = o cresce o resta uguale.

Monotona decrescente = decresce e basta.

Monotona non crescente = o decresce o resta uguale.

 

Metodo per studiare la monotonia di una funzione

 

E questo è tutto. Per studiare nel modo più semplice ed efficace la monotonia globale o locale di una funzione ci servirà il concetto di derivata di una funzione reale di variabile reale, che tratteremo più avanti. Per chi però è già pronto e sta ripassando: come studiare la monotonia di una funzione - click!

 

 


 

C'è qualcosa che non torna? Puoi cercare le risposte ai tuoi dubbi tra le migliaia di esercizi risolti su YM ed eventualmente puoi aprire una discussione nel Forum.

 

[L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella categoria studio di funzioni]

 

 

Adiós, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: definizione di monotonia e di funzione crescente e decrescente, ossia monotona. Che cos'è la monotonia e come si fa a stabilire se una funzione è crescente o decrescente.