Funzione periodica

Una funzione periodica, in accordo con il significato dell'aggettivo periodico, è una funzione che ripete il comportamento che presenta su un certo intervallo periodicamente su tutto il proprio dominio.

 

In questa lezione vedremo nel dettaglio la definizione di funzione periodica e di periodo di una funzione, soffermandoci ad elencare le proprietà che la caratterizzano.

 

Intuitivamente si può pensare a una funzione periodica come a una funzione che si ripete identica a intervalli di una certa lunghezza. Vediamo qualche ad esempio prima di passare alla definizione rigorosa.

 

Esempi grafici di funzioni periodiche

 

Esempio di funzione periodica

 

Come si può vedere dal grafico, la spezzata si ripete su intervalli di uguale lunghezza, formando ogni volta due lati di un triangolo isoscele.

 

 

Un altro esempio di funzione periodica può essere il seguente.

 

 

Grafico di una funzione periodica

 

 

Restringendo l'intervallo su cui la funzione si ripete otteniamo il grafico seguente

 

 

Periodo di una funzione dimezzato

 

Definizione di funzione periodica

 

Ora che abbiamo un'idea intuitiva di quale sia la proprietà che caratterizza una funzione periodica, proviamo a dare una definizione più rigorosa.

 

Una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} si dice periodica se esiste un numero reale T, che chiameremo periodo, tale che per ogni x\in\mathbb{R} si ha

 

f(x+T)=f(x)

 

 

Consideriamo l'ultimo degli esempi riportati sopra: evidenziamo il periodo, cioè la lunghezza T sull'asse delle x dopo la quale la funzione inizia a ripetersi, con un rettangolo. Fissato un punto P nell'intervallo [0,T] abbiamo segnato con un punto rosso il valore f(P), e poi abbiamo riportato, sempre disegnando lo stesso punto

 

f(P-3T)\mbox{ , }f(P-2T)\mbox{ , }f(P-T)\mbox{ , }f(P), f(P+T)\mbox{ , }f(P+2T)

 

 

Rappresentazione grafica del periodo di una funzione

 

Esempi analitici di funzioni periodiche


I) Consideriamo la funzione seno \sin(x), è una funzione periodica di periodo . Per vederlo poniamo

 

\sin(x)=\sin(x+T)

 

e, grazie alla formula di sommazione degli archi per il seno

 

\sin(x+T)=\sin(x)\cos(T)+\cos(x)\sin(T)

 

Di conseguenza abbiamo

 

\sin(x)=\sin(x)\cos(T)+\cos(x)\sin(T)

 

Per verificare l'uguaglianza deve essere \cos(T)=1\mbox{ e }\sin(T)=0, il che si verifica nel caso banale in cui T=0 oppure nel caso T=2π. La prima soluzione va evidentemente scartata, per cui concludiamo che il periodo della funzione considerata è .

 

 

II) Consideriamo la funzione mantissa di x, ovvero

 

\mbox{mant}(x)=x-\lfloor x\rfloor

 

dove [x] è la parte intera di x, cioè la funzione che associa ad x il più grande intero minore o uguale a x. Ad esempio [1,12]=1 e [8,76]=8.

 

La funzione mant(x) è periodica di periodo 1; infatti se proviamo a risolvere

 

\mbox{mant}(x)=\mbox{mant}(x+T)

 

Per come è definita la funzione dobbiamo avere che


x-\lfloor x\rfloor=x+T-\lfloor x+T\rfloor


cioè


x-\lfloor x\rfloor=x+T-\lfloor x+T\rfloor


le x si elidono, e cambiando i segni si ottiene


\lfloor x\rfloor +T=\lfloor x+T\rfloor

 

Questa uguaglianza è verificata se e solo se T è intero e vale per qualunque intero, dunque come periodo scegliamo il più piccolo tra questi, cioè 1.

 

 

Funzione mantissa

 

 

Con questo abbiamo finito. Se volete potete mettervi alla prova con la scheda di esercizi correlati e con tutti gli altri esercizi svolti sulle funzioni periodiche presenti su YM, che potete reperire mediante la barra di ricerca interna. Inoltre potete anche ricorrere al tool per calcolare il periodo di una funzione online. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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