Funzione pari, funzione dispari

Una funzione pari è una funzione tale per cui f(-x)=f(x), e che quindi assume valori simmetrici rispetto all'asse delle ordinate; una funzione dispari è una funzione tale per cui f(-x)=-f(x) e che quindi assume valori simmetrici rispetto all'origine.

 

Sebbene i termini funzione pari e funzione dispari siano decisamente poco intuitivi, in realtà è sufficiente capire la definizione per potere stabilire con certezza se una funzione è pari o dispari, o nessuna delle due cose. Lo scopo di questa lezione consiste nel fornire le definizioni formali e spiegarne il significato nel dettaglio, mediante opportuni esempi.

 

Definizioni di funzione pari e dispari

 

Una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} si dice pari se f(-x)=f(x).

 

Una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} si dice dispari se f(-x)=-f(x).

 

Nel caso non dovesse sussistere alcuna delle precedenti condizioni, diremo che la funzione considerata non è né pari né dispari.

 

Esempi di funzioni pari e dispari


Negli esempi successivi applicheremo queste definizioni per stabilire se le funzioni sono pari o dispari.

 


I) Consideriamo f(x)=x^4+3x^2.

 

La funzione è pari, infatti

 

f(-x)=(-x)^4+3(-x)^2=x^4+3x^2=f(x)

 

Non è dispari, infatti

 

\\ f(-x)=(-x)^4+3(-x)^2=x^4+3x^2=f(x)\\ \\ \mbox{e}\\ \\ -f(x)=-(x^4+3x^2)=-x^4-3x^2.

 

Quindi f(-x)\neq -f(x).

 

 

II) Sia f(x)=2x^7+3x^5+4x

 

La funzione non è pari, poiché

 

f(-x)=2(-x)^7+3(-x)^5+4(-x)=-2x^7-3x^5-4x\neq f(x).

 

È dispari, infatti

 

\\ f(-x)=2(-x)^7+3(-x)^5+4(-x)=-2x^7-3x^5-4x=\\ \\ =-(2x^7+3x^5+4x)=-f(x)

 

 

III) La funzione f(x)=x^7+x^6+2x^4+3x

 

Non è pari, perché

 

\\ f(-x)=(-x)^7+(-x)^6+2(-x)^4+3(-x)=\\ \\ =-x^7+x^6+2x^4-3x\neq f(x)


Non è dispari

 

\\ f(-x)=(-x)^7+(-x)^6+2(-x)^4+3(-x)=\\ \\ -x^7+x^6+2x^4-3x\neq -f(x).

 

Concludiamo quindi che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

IV) La funzione coseno f(x)=\cos(x) è pari per definizione, infatti

 

\cos(-\alpha)= \cos(\alpha)

 

 

V) La funzione seno f(x)=\sin(x)  è dispari per definizione, infatti

 

\sin(-\alpha)= -\sin(\alpha)

 

 

In conclusione una funzione può essere pari, dispari o nessuna delle due cose, quindi non basta escludere un caso per poter affermare l'altro. In sostanza non si può concludere che una funzione è pari mostrando che non è dispari, né si può concludere che una funzione è dispari facendo vedere che non è pari. Bisogna sempre controllare entrambe le definizioni!

 

 


 

 

Nell'articolo successivo - interpretazione geometrica della parità e della disparità di una funzione - vedremo come le nozioni di parità e di disparità giocano un ruolo rilevante nel momento in cui si deve effettuare lo studio di una funzione. In particolare se abbiamo la fortuna di lavorare con una funzione pari o dispari, allora ci possiamo risparmiare un sacco di lavoro.

 

Oltre alla lezione successiva vi consigliamo di leggere:

 

- simmetrie di una funzione;

- funzione simmetrica rispetto all'asse y;

- funzione simmetrica rispetto all'origine.

 

[L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella categoria di lezioni sullo studio di funzioni]

 

Per il resto, se siete alla ricerca di esercizi svolti sulle funzioni pari e dispari, potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati fino all'ultimo passaggio. Nel caso potete anche aiutarvi con il tool per il controllo della parità e della disparità online. ;)

 

 

Gule gule, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Esercizi correlati

Esercizi su funzioni pari e dispari, prima scheda

Esercizi su funzioni pari e dispari, seconda scheda

 

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