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Funzioni pari e dispari

Sebbene i termini funzione pari e funzione dispari siano decisamente poco intuitivi, in realtà è sufficiente capire la definizione per potere stabilire con certezza se una funzione è pari o dispari, o nessuna delle due cose.

 

Definizioni di funzioni pari e dispari

 

Una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} si dice pari se f(-x)=f(x).


Una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} si dice dispari se f(-x)=-f(x).

 

Negli esempi successivi applicheremo queste definizioni per stabilire se le funzioni sono pari o dispari.

 

Esempi di funzioni pari e dispari


I) Consideriamo f(x)=x^4+3x^2.

 

  • La funzione è pari, infatti

    f(-x)=(-x)^4+3(-x)^2=x^4+3x^2=f(x).


    • Non è dispari, infatti

      f(-x)=(-x)^4+3(-x)^2=x^4+3x^2=f(x)

      e

      -f(x)=-(x^4+3x^2)=-x^4-3x^2.

      Quindi f(-x)\neq -f(x).


II) Sia f(x)=2x^7+3x^5+4x.

 

  • La funzione non è pari, poiché

    f(-x)=2(-x)^7+3(-x)^5+4(-x)=-x^7-3x^5-4x\neq f(x).


    • È dispari, infatti

      f(-x)=2(-x)^7+3(-x)^5+4(-x)=-x^7-3x^5-4x=
      =-(2x^7+3x^5+4x)=-f(x).


III) La funzione f(x)=x^7+x^6+2x^4+3x

 

  • Non è pari

    f(-x)=(-x)^7+(-x)^6+2(-x)^4+3(-x)=
    =-x^7+x^6+2x^4-3x\neq f(x).


  • Non è dispari

    f(-x)=(-x)^7+(-x)^6+2(-x)^4+3(-x)=
    -x^7+x^6+2x^4-3x\neq -f(x).

 

IV) La funzione cosenof(x)=\cos(x) è pari per definizione, infatti \cos(-\alpha)= \cos(\alpha).

 

V) La funzione seno f(x)=\sin(x)  è dispari per definizione, infatti \sin(-\alpha)= -\sin(\alpha).

 


 

In conclusione una funzione può essere pari, dispari o nessuna delle due cose, quindi non basta escludere un caso per poter affermare l'altro, in sostanza non potete far vedere che la funzione non è pari per potere dire che è dispari, dovete sempre controllare entrambe le cose!


Nell'articolo successivo - interpretazione geometrica della parità e della disparità di una funzione - potete vedere come le nozioni di parità e di disparità giocano un ruolo rilevante nel momento in cui si deve tracciare il grafico di una funzione, in sostanza, avere la fortuna di incontrare una funzione pari o dispari vi farà risparmiare un sacco di lavoro. Oltre alla lezione successiva vi consigliamo di leggere:

 

- simmetrie di una funzione;

- funzione simmetrica rispetto all'asse y;

- funzione simmetrica rispetto all'origine.

 

Vuoi discutere con noi la parità o la disparità di una funzione in particolare? Qualcosa nell'articolo non è chiaro? Se desiderate confrontarvi con l'intera community YouMath navigate e scrivete nel Forum.

 

\alpha

 

Esercizi correlati

Esercizi su funzioni pari e dispari, prima scheda

Esercizi su funzioni pari e dispari, seconda scheda

 

[L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella categoria di lezioni sullo studio di funzioni]

 

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Tags: cos'è e come si studia la parità e disparità di una funzione - spiegazione sulle funzioni pari e dispari e significato geometrico e grafico.

 

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