Segno di una funzione

Data una funzione reale di variabile reale f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} è possibile studiare il segno della funzione, cioè capire su quali intervalli la funzione ha immagini con segno positivo (sta sopra l'asse delle x) o segno negativo (sta sotto l'asse delle x), ponendola maggiore o uguale a zero.

 

In sostanza si tratta di risolvere la disequazione

 

f(x)\geq 0

 

Esempi sul segno di funzioni

 

I) Segno di una funzione polinomiale, dove l'espressione analitica della funzione consiste in un polinomio.

 

Consideriamo ad esempio la funzione

 

f(x)=x^2-5x+4

 

e risolviamo la disequazione di secondo grado f(x)\geq 0, al fine di determinare il segno della funzione:

 

x^2-5x+4\geq 0

 

Possiamo risolvere l'equazione di secondo grado associata alla disequazione ottenendo le due soluzioni

 

x_1= 1\ \mbox{ e }\ x_2=4

 

Le soluzioni della disequazione sono per valori esterni alle due soluzioni distinte dell'equazione associata:

 

x\leq 1\mbox{ }\vee\mbox{ }x\geq 4

 

dunque abbiamo che la funzione assume valori positivi per x più piccolo di 1 e per x più grande di 4 ; mentre assume valori negativi tra 1 e 4.

 

 

Esempio grafico sul segno di una funzione di secondo grado

 

 

II) Segno di una funzione fratta, dove espressioni contenenti x compaiono al denominatore.

 

Ad esempio

 

f(x)=\frac{x^3-1}{x^2-1}

 

Per prima cosa determiniamo le condizioni di esistenza: basta porre il denominatore diverso da zero, (per chiarimenti potete consultare l'articolo sul dominio delle funzioni)

 

x^2-1\neq 0\mbox{ ovvero }x\neq 1\ \mbox{ e }\ x\neq -1

 

Siamo pronti per passare allo studio del segno del numeratore (N) e del denominatore (D), in quanto si tratta di risolvere una disequazione fratta:

 

\\ N\geq 0\\ \\ x^3-1\geq 0 \mbox{ ovvero }(x-1)(x^2+x+1)\geq 0

 

Studiamo separatamente il segno dei due fattori che compongono il numeratore chiamandoli N_1 \mbox{ e } N_2, dunque

 

\\ x-1\geq 0\mbox{ ovvero } x\geq 1\\ \\ x^2+x+1\geq 0

 

quest'ultima ha discriminante negativo e coefficiente di x^2 positivo, e dunque è sempre positiva.

 

Per quanto riguarda il segno del denominatore, abbiamo

 

\\ D>0\\ \\ x^2-1> 0 \mbox{ ovvero }x<-1\ \mbox{ e }\ x>1

 

 

Tabella per la risoluzione di una disequazione fratta

 

 

Dunque la soluzione è \{x>-1,\ x\neq 1\}.

 

 

Esempio sul segno di una funzione fratta

 

 

Attenzione: non fatevi fregare dal grafico, la funzione non è definita per x= 1. Quest'ultimo è un punto di discontinuità eliminabile.

 

 

III) Segno di una funzione irrazionale, in cui l'incognita x compare sotto una radice.

 

Ad esempio

 

f(x)= \sqrt{x^2-5x+6}

 

Le condizioni di esistenza (vedi articolo sul dominio delle funzioni) sono individuate da

 

x^2-5x+6\geq 0

 

che significa

 

x\leq 2\ \mbox{ e }\ x\geq 3

 

Possiamo procedere con il calcolo del segno della funzione

 

 \sqrt{x^2-5x+6}\geq 0

 

Questa è una disequazione irrazionale. Avendo scritto le condizioni di esistenza possiamo elevare al quadrato, ma in questo caso la disequazione che otteniamo è esattamente quella che abbiamo risolto per le condizioni di esistenza, dunque non è necessario fare altro.

 

Ne ricaviamo che la funzione è non negativa su tutto il proprio dominio e si annulla nei punti che annullano il radicando. Non a caso una radice quadrata è per definizione non negativa!

 

 

Segno di una funzione irrazionale

 


IV) Segno di una funzione esponenziale, in cui l'incognita compare come esponente.

 

Consideriamo come esempio

 

f(x)=e^{x-5}-1

 

Con una funzione di questo tipo non abbiamo problemi di condizioni di esistenza, dunque possiamo risolvere direttamente la disequazione esponenziale

 

e^{x-5}-1\geq 0

 

che scriviamo come

 

e^{x-5}\geq e^0

 

che ha soluzioni per x\geq 5.

 

 

Segno di una funzione esponenziale

 

 

V) Segno di una funzione logaritmica, in cui la x compare nell'espressione della funzione come argomento di un logaritmo.

 

Ad esempio

 

f(x)=\ln(x)+\ln(x+1)

 

Le condizioni di esistenza ci obbligano a porre l'argomento dei logaritmi maggiore di zero, otteniamo che

 

x> 0\ \mbox{ e }\ x> -1

 

Dunque affinché entrambe le condizioni siano verificate dobbiamo assumere come condizione di esistenza

 

x> 0.

 

Procediamo con la risoluzione della disequazione logaritmica:

 

\ln(x)+\ln(x+1)\geq 0

 

per una conosciutissima proprietà dei logaritmi

 

\\ \ln[(x)(x+1)]\geq \ln(1)\\ \\ (x)(x+1)\geq 1\\ \\ x^2+x-1\geq 0\\ \\ x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}

 

Dunque la funzione è positiva per x\geq \frac{-1+\sqrt{5}}{2}.

 

 

Esempio sul segno di una funzione logaritmica

 

 

VI) Segno di una funzione trigonometrica (funzione espressa tramite somme e prodotti di \cos, \sin, \tan,\ ...).

 

Consideriamo a titolo esemplificativo

 

f(x)=1-2\sin{x}

 

Qui non dobbiamo imporre alcuna condizione di esistenza per la funzione, dunque il dominio è tutto \mathbb{R}. Studiamone il segno ponendo

 

1-2\sin{x}\geq 0

 

ossia

 

\sin{x}\leq \frac{1}{2}

 

Facendo finta di conoscere vita morte e miracoli della funzione seno, la disequazione goniometrica ci dà come risultato:

 

2k\pi\leq x\leq \frac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ \frac{5}{6}\pi+2k\pi\leq x\leq 2k\pi.

 

 

Segno di una funzione trigonometrica

 

 


 

Come al solito, se ci fosse qualcosa di poco chiaro o se doveste avere qualsiasi dubbio, ricordate che su YM abbiamo spiegato come risolvere una valanga di esercizi, e potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca. E se volete esercitarvi un po', potete mettervi alla prova con gli esercizi sulle disequazioni. ;)

 

[L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella categoria di lezioni sullo studio di funzioni]

 

 

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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