Campo di esistenza di una funzione

Il campo di esistenza di una funzione è l'insieme su cui la funzione è definita, o equivalentemente l'insieme di partenza su cui è possibile valutare punto per punto la funzione.

 

State leggendo la seconda parte della lezione sul metodo generale per determinare il campo di esistenza delle funzioni reali di variabile reale, detto anche dominio o insieme di definizione, a seconda dei gusti. Se siete finiti qui per caso, vi suggeriamo di leggere la prima parte dell'articolo: cos'è e come si trova il dominio di una funzione?

 

Occupiamoci ora di capire nella pratica come si fa a trovare l'insieme di definizione di una funzione qualsiasi. Nella prima parte dell'articolo abbiamo visto le regole generali che ci dicono dove può vivere una funzione e dove no. Tradotto: su quale sottoinsieme di \mathbb{R} una funzione y=f(x) è definita. Nella stragrande maggioranza dei casi avremo tra le mani funzioni che presentano diverse condizioni da imporre contemporaneamente.

 

Determinare il campo di esistenza di una funzione qualsiasi

 

Ad esempio, un esercizio tipo potrebbe essere: determinare il dominio della funzione

 

y=\sqrt{\left(\frac{\ln(x+2)}{x}\right)}

 

Che si fa? Intanto guardiamo la funzione e ci accorgiamo che ci sono tre dei cinque personaggi cui dobbiamo prestare attenzione:

 

- radice quadrata;

- logaritmo;

- denominatore

 

Trovare il dominio di una funzione è molto semplice, se sappiamo come comportarti. ;)

 

Il primo passaggio da fare è: guardiamo la funzione e cerchiamo ognuno dei cinque personaggi problematici; denominatore, logaritmo, radice con indice pari, esponenziale a base variabile, arcoseno oppure arcocoseno.


Appena troviamo una parte della funzione che richiede condizioni specifiche - quelle elencate nella prima parte dell'articolo - sappiamo automaticamente la condizione che dobbiamo imporre.

 

Nell'esempio specifico, dovremo chiedere che:

 

- l'argomento della radice sia maggiore o uguale a zero, quindi qui poniamo

 

\frac{\ln(x+2)}{x}\geq 0

 

- l'argomento del logaritmo sia maggiore strettamente di zero, quindi qui poniamo

 

x+2>0

 

- il denominatore della frazione sia diverso da zero, quindi qui poniamo

 

x\neq 0

 

 

Il secondo passaggio da fare è: appena troviamo un personaggio problematico, scriviamo la condizione corrispondente. Non è nemmeno importante l'ordine con cui le scriviamo, basta scriverle tutte!

 

E adesso che ci facciamo con le condizioni che abbiamo imposto? Ragioniamo: le condizioni devono valere tutte insieme appassionatamente. In Italiano "valere tutte insieme" si può esprimere dicendo devono valere "contemporaneamente". In Matematica contemporaneamente significa intersezione: nella pratica intersezione vuol dire sistema!

 

 

Il terzo passaggio da fare è: prendiamo le condizioni scritte in precedenza e mettiamole a sistema.


Nell'esempio arriviamo così ad avere

 

\begin{cases}\frac{\ln(x+2)}{x}\geq 0\\ x+2>0\\ x\neq 0\end{cases}

 

Osserviamo che la terza condizione qui è superflua perchè è già contenuta implicitamente nella prima disequazione. Scriverla però come condizione a parte non è sbagliato, e se siete apprendisti nel calcolo dei domini fareste meglio a scrivere tutte le condizioni che trovate. Cercare di bruciare le tappe quando non si ha abbastanza esperienza è molto stupido: meglio scrivere qualcosa di superfluo che non comprometterà il risultato (vi costa quattro secondi) piuttosto che tralasciare qualche condizione, risparmiando i quattro secondi ma rischiando di compromettere la riuscita dell'esercizio.

 

Con l'esperienza si impara poi a vedere ad occhio cosa si può omettere e cosa non si può omettere.

 

 

Il quarto passaggio da fare è: risolvere il sistema.


- Prendiamo la prima disequazione o disuguaglianza che sia, e risolviamola a parte. Abbiamo così il risultato della prima condizione.

 

- Prendiamo la seconda disequazione o disuguaglianza che sia, e risolviamola a parte. Abbiamo così il risultato della seconda condizione.

 

- Procediamo così con tutte le N disequazioni o disuguaglianze che compaiono a sistema. Abbiamo N risultati!

 

- Ora rimettiamo a sistema gli N risultati.

 

- Tracciamo un grafichino con la retta reale delle x.

 

- Al di sotto di essa indichiamo su N righe parallele all'asse delle x i risultati delle N condizioni che abbiamo trovato.

 

- Indichiamo i risultati delle disequazioni con semirette o segmenti a seconda dei casi. Prestiamo attenzione a escludere o includere gli estremi di questi segmenti/semirette (convenzione: \circ per includere, \times per escludere). Qui non ci vogliono i tratteggi: o linea piena o niente!

 

- Per indicare i risultati delle disuguaglianze, facciamo così. Consideriamo una disuguaglianza che esclude ad esempio i punti -3, 2, 5. Sulla linea della disuguaglianza tracciamo l'intera retta reale (piena) e tracciamo una \times sui valori da escludere.

 

- Abbiamo finito. Guardando il grafichino in verticale le zone in cui compaiono contemporaneamente i segmenti di tutte le condizioni rappresentano la soluzione del sistema.

 

Un esempio di applicazione delle regole per il dominio

 

Questi passaggi nell'esempio considerato si traducono come segue.

 

\begin{cases}\frac{\ln(x+2)}{x}\geq 0\\ x+2>0\\ x\neq 0\end{cases}

 

 

I CONDIZIONE RISOLTA A PARTE

 

Dimentichiamoci di quanto detto finora, e immaginiamo di avere solamente un foglio bianco con questa disequazione davanti. La guardiamo e la risolviamo come ci hanno insegnato da piccoli (qui ci vogliono i tratteggi, perchè è una disequazione fratta)

 

\frac{\ln(x+2)}{x}\geq 0

 

ossia

 

\\ \mbox{Numeratore}\geq 0\ :\ \ln(x+2)\geq 0\ \to\ (x+2)\geq 1\ \to\ x\geq -1\\ \\ \mbox{Denominatore}>0\ :\ x>0

 

Ora riflettiamo sul fatto che la disequazione che stiamo considerando ammette soluzioni a patto che il logaritmo abbia argomento maggiore di zero. In questo caso x+2>0, vale a dire x>-2. È la condizione di esistenza delle soluzioni della disequazione.

 

Abbiamo quindi come grafico di disequazione

 

 

Soluzioni della prima condizione per il dominio

 

 

SOLUZIONE DELLA I CONDIZIONE

 

-2<x\leq -1 \vee x>0

 

 

II CONDIZIONE RISOLTA A PARTE

 

Qui è facile, ed è in realtà inclusa nella precedente disequazione. Abbiamo x+2>0, dunque x>-2.

 

SOLUZIONE DELLA II CONDIZIONE

 

x>-2

 

 

III CONDIZIONE RISOLTA A PARTE

 

Non facile, di più. x\neq 0. Osserva che anche questa condizione è inclusa nella I condizione.

 

SOLUZIONE DELLA III CONDIZIONE

 

x\neq 0

 

 

SOLUZIONE DEL SISTEMA

 

Tracciamo il grafico di sistema

 

 

Grafico del sistema per le condizioni del dominio

 

 

e scopriamo così che il dominio della funzione considerata è (-2,-1]\cup(0,+\infty).

 

 


 

Abbiamo finito. Il metodo descritto funziona per ogni funzione, potete provare voi stessi con le schede di esercizi correlati. E se gli esercizi non bastassero, in caso di dubbi potete anche usare il tool per calcolare il dominio online ed effettuare un paio di ricerche qui su YM, di esercizi sul dominio ne abbiamo risolti e spiegati a bizzeffe... ;)

 

 

Auf widersehen, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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