Dominio di una funzione: cos'è, come si calcola

Il dominio di una funzione è l'insieme su cui è definita la funzione, ossia l'insieme di partenza sui cui elementi ha senso valutare la funzione. Nella pratica è possibile determinare il dominio di una qualsiasi funzione reale di variabile reale mediante una serie di semplici regole.

 

L'argomento di cui ci occupiamo in questa lezione è un must nello studio dell'Analisi Matematica: vogliamo proporre una guida completa sul dominio di funzioni reali di variabile reale, e mostrare quali sono le regole che permettono di determinare il campo di esistenza di una qualsiasi funzione.

 

(L'argomento di questa lezione viene anche trattato in sintesi nella guida sullo studio di funzione).

 

Considerazioni preliminari sul dominio

 

Nell'articolo sulla rappresentazione di una funzione reale a valori reali nel piano cartesiano abbiamo accennato al concetto di dominio di una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ f:x\mapsto ydetto anche campo di esistenza o insieme di definizione.

 

Il dominio di una funzione si indica con Dom(f)\subseteq\mathbb{R}, ed è il sottoinsieme di \mathbb{R} (o al più tutto \mathbb{R} ) in cui ha senso valutare la funzione y=f(x). Cosa significa?

 

Dire "ha senso valutare la funzione" o "è definita la funzione" vuol dire nella pratica che, prendendo i valori delle x (numeri) che stanno in Dom(f) e sostituendo questi valori nell'espressione di f, è possibile fare i calcoli. In altre parole non capitano "cose strane" e le operazioni algebriche che ne risultano danno un determinato valore numerico.

 

In altre parole ancora: x\in Dom(f) se posso effettuare la valutazione y=f(x), trovando così il numero y che la funzione sputa fuori dalla x.

 

Il concetto di per sé dovrebbe essere chiaro, ma ci piacciono molto gli esempi, e quindi...

 

Esempi sul dominio di funzioni

 

1) Se prendiamo

 

f(x)=\frac{1}{9}x^3 +x^2-3x+9

 

e consideriamo il punto x=3. Sostituendo tale valore nell'espressione di x e facendo i calcoli troviamo

 

y=f(3)=12

 

La funzione è quindi definita in x=3 e tale numero reale appartiene al Dom(f).



2) Consideriamo la funzione

 

f(x)=\frac{x^2+2}{x+5}

 

Prendiamo un qualsiasi numero reale x, tranne -5, e valutiamo la funzione in tale punto: nessun problema.

 

Se però proviamo a calcolare y=f(-5), troviamo che l'espressione della funzione dà a denominatore -5+5=0. Da che mondo è mondo non si può dividere per zero, quindi x=-5 non appartiene al dominio della funzione.

 

Il dominio della funzione è quindi tutto l'asse reale escluso il punto x=-5; in simboli

 

Dom(f)=(-\infty,-5)\cup(-5,+\infty)

 

Che cosa indica la precedente scrittura? Un'unione di intervalli reali, e nulla più. Casomai potete dare un'occhiata alla lezione del link.

 

 

3) Prendiamo

 

f(x)=e^{x}-3

 

Prendiamo poi un qualsiasi valore reale x (provate!) e sostituiamolo nell'espressione, calcolando y=f(x). Nessun problema: il dominio della funzione è tutto l'asse reale

 

Dom(f)=\mathbb{R}

 

 

4) Ora consideriamo

 

f(x)=\ln(x)

 

La funzione logaritmica per definizione deve avere argomento positivo. Non c'è niente da capire: il logaritmo naturale è fatto così, lo stesso vale per i logaritmi con base qualsiasi \log_{a}(x) (attenzione al fatto che per definizione anche la base a del logaritmo deve essere positiva).

 

La funzione considerata ha quindi dominio

 

Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che }x>0\}

 

cioè l'insieme dei numeri reali positivi.

 

 

5) Prendiamo la funzione

 

f(x)=\sqrt{x+2}

 

Qual'è la regola per il calcolo della radice quadrata di un numero? Che l'argomento della radice sia non negativo, ossia maggiore o uguale a zero. Possiamo allora valutare tale funzione in qualsiasi x che soddisfi x+2\geq 0, e risolvendo questa semplice disequazione si trova che

 

Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ tali che }x\geq-2\}=[-2,+\infty)

 

ossia il dominio di f è dato da tutte le x che sono maggiori o uguali a -2.

 

 

6) Se invece abbiamo

 

f(x)=\sqrt[3]{x+2}

 

non dobbiamo imporre alcuna condizione perchè trattandosi di una radice cubica (con indice dispari, 3) si può calcolare sia per numeri positivi che per numeri negativi.

 

 

7) Consideriamo la funzione

 

f(x)=\tan(x)

 

La funzione tangente per definizione è data da

 

\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

 

Non potendo dividere per zero dobbiamo richiedere \cos(x)\neq 0, condizione che si traduce in

 

x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\mbox{ con }k \mbox{ numero intero di segno qualsiasi}

 

Analogo ragionamento vale per

 

f(x)=\cot(x)

 

definita da

 

\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}

 

dunque imponiamo \sin(x)\neq 0, che ci dà

 

x\neq k\pi\mbox{ con }k\mbox{ numero intero di segno qualsiasi}

 

Come trovare il dominio di una funzione

 

Ora però vogliamo delle regole generali che ci permettano di calcolare il dominio di una qualsiasi funzione.

 

È presto detto. Per citare qualche esempio, ricordate le equazioni fratte, o le equazioni logaritmiche, o le disequazioni irrazionali? Ricordate che per risolverle è necessario determinare le condizioni di esistenza prima di iniziare a smanettare con i calcoli? Qui funziona più o meno allo stesso modo. Prima di fare qualsiasi cosa con una funzione, dobbiamo vedere su quale sottoinsieme Dom(f)\subseteq\mathbb{R} essa esiste.

 

Le uniche condizioni sono le seguenti, e non ce n'è nessun'altra.

 

 

Ogni volta che c'è una FRAZIONE, poniamo il DENOMINATORE DIVERSO DA ZERO.

Se y=f(x) contiene

 

\frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}

 

poniamo

 

\mbox{denominatore}\neq 0

 

 

Ogni volta che c'è un LOGARITMO, poniamo l'ARGOMENTO MAGGIORE DI ZERO.

 

Se y=f(x) contiene

 

\log_{a}(\mbox{argomento})

 

poniamo

 

\mbox{argomento}>0

 

 

Ogni volta che c'è una RADICE CON INDICE PARI, poniamo l'ARGOMENTO MAGGIORE-UGUALE A ZERO.

 

Se y=f(x) contiene

 

\sqrt[n]{\mbox{argomento}}\mbox{ con }n\mbox{ pari}

 

poniamo

 

\mbox{argomento}\geq 0

 

 

Ogni volta che c'è un ARCOSENO o un ARCOCOSENO, poniamo l'ARGOMENTO COMPRESO TRA -1 E +1 (estremi inclusi).

 

Se y=f(x) contiene

 

\mbox{\arcsin}(\mbox{argomento})

 

oppure contiene

 

\mbox{\arccos}(\mbox{argomento})

 

poniamo

 

-1\leq \mbox{argomento}\leq +1

 

Occhio che tale condizione, essendo una doppia disequazione, racchiude due disequazioni che devono valere contemporaneamente:

 

\begin{cases}\mbox{argomento}\geq -1\\ \mbox{argomento}\leq +1\end{cases}

 

 

Ogni volta che c'è una ESPONENZIALE A BASE VARIABILE, poniamo la BASE MAGGIORE DI ZERO.

 

Ossia: se la funzione è della forma

 

y=[f(x)]^{g(x)}

 

imponete

 

f(x)>0

 

(oltre ad eventuali condizioni su g(x) ).

 

 

Se non compare nessuno dei cinque personaggi appena citati, il dominio è tutto \mathbb{R}.

 

Attenzione al dominio con tangente, cotangente, secante o cosecante!

 

Osserva come particolare esempio che la funzione tangente, la funzione cotangente, la funzione secante e la funzione cosecante rientrano per loro stessa definizione nella condizione delle frazioni.

 

 


 

 

Non c'è niente altro che dobbiamo fare. Si pone però un'altra importante questione, vale a dire: se in una stessa funzione dovessimo avere più di una condizione da imporre, ad esempio una radice e una frazione, cosa dovremmo fare?

 

Nella seconda parte dell'articolo sulle regole per determinare l'insieme di definizione spieghiamo il procedimento da seguire, farcito con diversi esempi. Appena l'avrete letto potrete dire di essere i Re dei domini...

 

Nel frattempo voleste esercitarvi un po', sappiate che qui su YM avete a disposizione migliaia e migliaia di esercizi svolti: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca. Tra l'altro c'è anche un tool per calcolare il dominio online. ;)

 

 

Bye bye, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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