Funzione inversa

La funzione inversa di una data funzione f, se esiste, è quella funzione indicata con f-1 che definisce l'associazione inversa di f. Affinché l'inversa esista è necessario che la funzione di partenza sia invertibile.

 

In questa lezione vediamo, nella pratica, come calcolare l'inversa di una funzione reale di variabile reale

 

 

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ \ \ \ \ y=f(x)

 

 

Inoltre vedremo come tracciare il grafico della funzione inversa partendo dal grafico della funzione che ci siamo proposti di invertire.

 

Nella lezione sul concetto di funzione invertibile abbiamo visto che una funzione y=f(x) è invertibile se e solo se e biunivoca. In altri termini la biettività è condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità.

 

Metodo per il calcolo della funzione inversa

 

Immaginiamo dunque che ci venga chiesto se una funzione y=f(x) è invertibile, ed in caso affermativo di determinarne l'inversa. Vediamo quale procedimento seguire passo dopo passo.

 

 

Passo 1: verificare l'iniettività della funzione y=f(x)

 

Basta ragionare come abbiamo detto nella lezione sulle funzioni iniettive.

 

- Se la funzione y=f(x) non è iniettiva, allora non c'è speranza di determinarne l'inversa. Stop!

 

- Se invece la funzione è iniettiva, procediamo al passo 2.

 

Nota bene: l'esercizio potrebbe richiedere di rendere la funzione iniettiva. In tal caso rimandiamo alla lettura dell'ultimo paragrafo di approfondimento che riserviamo ai soli studenti universitari.

 

 

Passo 2: verificare la suriettività della funzione y=f(x)

 

Anche qui è sufficiente comportarsi come descritto nella lezione come verificare se una funzione è suriettiva.

 

- Se la funzione y=f(x) non fosse suriettiva, allora in linea di massima non sarebbe invertibile. C'è però la possibilità di rendere la funzione biunivoca, e dunque invertibile, con un piccolo trucchetto. Vai al passo 4.

 

- Se la funzione è suriettiva, allora è biunivoca e possiamo calcolarne direttamente l'inversa, come descritto al passo 3.

 

 

Passo 3: invertire la funzione biunivoca

 

Lo scopo del gioco consiste nel trasformare, con passaggi algebrici, l'espressione della funzione y=f(x) in un'espressione del tipo

 

x=\mbox{qualcosa dipendente da }(y)

 

Se i passaggi sono giusti, allora quest'ultima è proprio l'espressione della funzione inversa x=f^{-1}(y). Stop!

 

Per passare da y=f(x) a x=f^{-1}(y) dobbiamo semplicemente usare le regole standard per risolvere le equazioni. Dato che la funzione di partenza potrebbe essere di qualsiasi tipo, non è possibile stabilire un procedimento preciso per ricavare la sola y a sinistra dell'uguale.

 

C'è però un'osservazione che può tornare utile: le uniche cose che ci serviranno sono le operazioni classiche (somma, prodotto, ...) e applicare ad entrambi i membri le funzioni inverse delle funzioni elementari, che vanno sempre sapute.

 

 

Esempio

 

Prendiamo la funzione

 

y=(x+2)^{3}

 

che è iniettiva e suriettiva. Vogliamo invertirla: per arrivare ad un'espressione con la sola x da una parte dell'uguale, dobbiamo sbarazzarci della radice cubica e dunque eleviamo entrambi i membri al cubo

 

\sqrt[3]{y}=x+2

 

ora portiamo il +2 a sinistra dell'uguale, sottraendo 2 ad ambo i membri

 

\sqrt[3]{y}-2=x

 

abbiamo finito. La funzione inversa è

 

x=f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}-2

 

 

Passo 4: se la funzione è iniettiva ma non suriettiva possiamo invertirla?


, e questa non è una contraddizione con il fatto che la biunivocità è condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità. Cerchiamo di essere più precisi.

 

Una funzione y=f(x)\mbox{ da }\mathbb{R} \ \mbox{a} \ \mathbb{R} che non è suriettiva non ammette, per definizione, come immagine \mathbb{R}. La sua immagine Im(f) è un sottoinsieme propriamente contenuto nel suo codominio, che è \mathbb{R}.

 

Se però noi considerassimo la funzione y=f(x) non come

 

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

 

ma come

 

f:\mathbb{R}\rightarrow Im(f)

 

allora questa sarebbe anche suriettiva (l'iniettività si mantiene restringendo il codominio). A questo punto ci troveremmo con una funzione biunivoca che potremmo invertire esattamente coma al passo 3.

 

In parole povere è possibile ricavare una funzione suriettiva a partire da una funzione non suriettiva mediante un'opportuna restrizione del codominio all'immagine.

 

Hai dubbi sulla differenza che sussiste tra la nozione di codominio e la nozione di immagine? Dai un'occhiata a questo: immagine di una funzione - codominio di una funzione - click!

 

 

Esempio

 

La funzione

 

y=e^{x}

 

non è invertibile come funzione da \mathbb{R} \ \mbox{a} \ \mathbb{R}, infatti la sua immagine è l'insieme dei numeri reali positivi \mathbb{R}^{+}. È però invertibile come funzione

 

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}

 

e ammette come funzione inversa

 

x=\ln{(y)}.

 

 

Altro esempio

 

Data la funzione

 

y=\frac{x+2}{x+1}

 

questa ha dominio \left(-\infty,-1\right)\cup\left(-1,+\infty\right). Si verifica in tutta facilità che essa è iniettiva ma non suriettiva, infatti riscrivendola come

 

y=\frac{x+2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}

 

si vede che il punto y=1 non ha preimmagine (non esiste x tale che f(x)=1). Dunque y=f(x) è suriettiva considerandola come funzione

 

f:\mathbb{R}\rightarrow(-\infty,1)\cup(1,+\infty)

 

In questo modo la funzione è iniettiva e anche suriettiva, quindi biunivoca, quindi invertibile. A proposito, che ne dite di provare a calcolarne l'inversa? :)

 

 

Osservazione importante

 

Se una funzione è invertibile, allora il dominio dell'inversa coincide con il codominio della funzione.

 

Grafico della funzione inversa

 

Se abbiamo tracciato il grafico di una funzione e siamo di fronte ad una funzione invertibile, il grafico dell'inversa è il simmetrico  del grafico della funzione di partenza rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

 

Per il suddetto motivo, se siamo di fronte al grafico di una funzione e ci siamo assicurati che è invertibile, ci basta disegnare la bisettrice del primo e terzo quadrante e ricavare il simmetrico del grafico rispetto a tale retta. Quello ottenuto sarà il grafico dell'inversa.

 

 

Esempio

 

Consideriamo la funzione potenza con esponente dispari ed in particolare con esponente 3, ovvero

 

f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto f(x)=y=x^3

 

Il grafico è quello di colore blu (che dovreste conoscere). La funzione è, evidentemente, iniettiva e suriettiva e quindi invertibile. Tracciamo allora la bisettrice del primo e terzo quadrante (in arancione) e ricaviamo il simmetrico del grafico rispetto a tale retta. Esso è il grafico della funzione inversa

 

f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ y \mapsto f(y)=x=\sqrt[3]{y} 

 

che è proprio il grafico della funzione radice di x con indice dispari.

 

 

Grafico funzione inversa

 

Approfondimento: come rendere una funzione iniettiva

 

Abbiamo visto che la suriettività non è una condizione così stringente come l'iniettività: con un piccolo trucchetto, quale è quello di restringere il codominio all'immagine, si può sempre rendere la funzione suriettiva senza alcuna conseguenza sul grafico della funzione.

 

Agendo invece sull'insieme di definizione possiamo rendere la funzione iniettiva anche se, in realtà, restringendo il dominio ne stravolgeremo i connotati e, di conseguenza, passeremo a considerare una nuova funzione.

 

Ci sono inoltre tantissimi modi per restringere il dominio di una funzione in modo da renderla iniettiva, quindi il discorso è davvero delicato e cercheremo di rendere una data funzione iniettiva solo se espressamente richiesto ricordando che, in generale, una funzione non iniettiva non è invertibile.

 

A titolo di esempio consideriamo la semplicissima funzione

 

f: \ \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}, \ \ \ \ \ x \mapsto f(x)=y=x^2

 

il cui grafico corrisponde a quello di una parabola con vertice nell'origine, concavità verso l'alto ed asse coincidente con l'asse y.

 

 

Funzione non iniettiva

 

 

Per com'è stata definita, il codominio coincide con l'immagine e quindi siamo di fronte ad una funzione suriettiva. Essa però è evidentemente non iniettiva: ad esempio, la retta orizzontale y=1 interseca il grafico in due punti distinti.

 

Se restringiamo l'insieme di definizione a [0,+\infty), ossia se consideriamo

 

f: \ {\color{red}[0,+\infty)} \to \mathbb{R}^{+}, \ x \mapsto f(x)=y=x^2

 

il grafico della funzione considerata diventa

 

 

Rendere una funzione iniettiva per l'inversa

 

 

Abbiamo così dato vita ad una funzione iniettiva e suriettiva, e quindi invertibile, la cui inversa è x=\sqrt{y}.

 

Attenzione! Avremmo potuto scegliere di restringere il dominio in modo diverso e considerare come insieme di definizione:

 

[a, +\infty), \ \mbox{con }a\mbox{ numero reale strettamente maggiore di zero}.

 

Prendendo ad esempio a=1 avremmo:

 

f: \ {\color{red}[1,+\infty)} \to \mathbb{R}^{+}, \ x \mapsto f(x)=y=x^2

 

la quale ha come grafico

 

 

Restringere dominio per invertire una funzione

 

 

Tale funzione è sì iniettiva ma non più suriettiva in quanto, con la restrizione del dominio effettuata, il codominio (\mathbb{R}^+) non coincide più con l'immagine [1,+\infty).

 

Per renderla invertibile dobbiamo restringere il codominio all'intervallo [1,+\infty). Da qui la morale dell'esempio in esame: la restrizione del dominio potrebbe avere conseguenze sull'immagine della funzione e quindi sulla sua suriettività.

 

Insomma, come avevamo anticipato, rendere una funzione iniettiva non è affatto immediato perché bisogna prestare attenzione a molti aspetti delicati, tra cui quello di verificare che si preservi la suriettività.

 

 


 

Prima di salutarvi, vi raccomandiamo di dare un'occhiata agli esercizi correlati e in caso di necessità di usare il tool per calcolare la funzione inversa online. Per qualsiasi dubbio potete anche cercare tra le tonnellate di risposte e di esercizi svolti presenti su YM, con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Näkemiin, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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