Grafico intuitivo di funzioni (trucchi rapidi)

Questa lezione propone molto velocemente le linee guida e le principali osservazioni che permettono di disegnare il grafico intuitivo di funzioni reali.

 

Si tratta di un metodo che, utilizzando i grafici delle funzioni elementari e il significato grafico delle principali operazioni tra funzioni, permette di disegnare il grafico qualitativo di funzioni con espressioni non troppo complicate. Nella lezione di quest'ultimo link spieghiamo tutto nel dettaglio.

 

Le indicazioni che forniremo qui di seguito si riferiscono a:

 

1) somma di una costante con l'argomento di una funzione, f(x\pm c);

2) somma di una costante con l'espressione di una funzione, f(x)\pm c;

3) modulo applicato all'argomento di una funzione, f(|x|);

4) modulo applicato all'espressione di una funzione, |f(x)|;

5) moltiplicazione di una costante per l'argomento di una funzione periodica, f(cx);

6) moltiplicazione di una costante per l'espressione di una funzione, cf(x).

 

 

Linee guida e trucchi per tracciare il grafico intuitivo

 

1) Se si somma una costante all'argomento di una funzione elementare, (ad esempio \log(x+4) ) bisogna spostare l'intero grafico a sinistra se la costante è positiva, oppure a destra se la costante è negativa, di una distanza pari al valore della costante.

 

Ad esempio, dato noto il grafico della funzione f(x) (in blu), ecco cosa si ottiene sommando e sottraendo una costante positiva c al suo argomento.

 

 

Somma e sottrazione di una costante sull'argomento rispetto al grafico

 

 

Come fare per non confondersi? Basta ricordare com'è fatto il grafico della bisettrice del primo e del terzo quadrante y=x e pensare che la retta y=x+1, cui abbiamo sommato la quantità positiva +1, ha ordinata all'origine +1. Quindi la bisettrice viene spostata a sinistra dal +1.

 

 

2) Se si somma una costante a tutta la funzione, (ad esempio \log(x)+4 ), allora il grafico si sposterà verso l'alto se la costante è positiva, verso il basso se è negativa.

 

Considerato sempre il grafico di una funzione f(x) ecco cosa accade graficamente sommando e sottraendo una costante positiva c.

 

 

Somma e sottrazione di una costante all'espressione della funzione

 

 

Per non confonderti, ragiona sempre con la bisettrice del primo e del terzo quadrante y=x.

 

 

3) Se il modulo compare solo per l'argomento (variabile) di una funzione elementare, ad esempio \log(|x|), bisognerà disegnarla rappresentando la parte di grafico sulle ascisse positive simmetrica rispetto all'asse y.

 

Per rendere l'idea, consideriamo il grafico di una funzione f(x) (in blu). Il grafico di f(|x|) sarà quello in rosso ottenuto "eliminando" la parte delle ascisse negative e costruendo il simmetrico rispetto all'asse y della parte del grafico delle ascisse positive di f(x).

 

 

Modulo dell'argomento ed effetti sul grafico

 

 

4) Se invece il modulo è applicato a tutta la funzione, (ad esempio |\log(x)| ), sarà sufficiente ribaltare rispetto all'asse x la parte del grafico che ha ordinate negative. Ad esempio:

 

 

Modulo della funzione ed effetti sul grafico

 

 

5) Se un coefficiente moltiplica l'argomento di una funzione periodica, il risultato è la stessa funzione ma con periodo il suo periodo diviso la costante. Ad esempio \sin(x) ha periodo ; la funzione \sin(4x) ha periodo 2π/4, cioè π/2.

 

 

Moltiplicare l'argomento di una funzione periodica

 

 

6) Se un coefficiente moltiplica l'intera funzione, qualsiasi essa sia, otteniamo una dilatazione (se il coefficiente è maggiore di 1), o una contrazione (se il coefficiente è più piccolo di 1), della funzione lungo l'asse verticale.

 

A titolo di esempio tracciamo il grafico della funzione seno (in blu). Potete osservare come, moltiplicando la funzione per la costante 2 otteniamo una dilatazione, moltiplicandola per 1/2 si ha invece una contrazione.

 

 

Dilatazioni e contrazioni dei grafici

 

 


 

 

Un consiglio? Prova a giocare con il tool per disegnare il grafico di funzioni online, vedere direttamente gli effetti sui grafici ti aiuterà a ricordare il significato grafico delle operazioni algebriche. ;)

 

 

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