Funzione invertibile

Una funzione invertibile f è una funzione per la quale è possibile definire una nuova funzione, che percorra al contrario la legge di f. In termini pratici, una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca.

 

Dopo aver visto cosa caratterizza una funzione iniettiva e cosa contraddistingue una funzione suriettiva, facciamo un passo in avanti e introduciamo la nozione di funzione invertibile. In questa lezione i prerequisiti che abbiamo trattato nei precedenti articoli saranno fondamentali: qui di seguito daremo la definizione di funzione invertibile e ci soffermeremo su alcuni esempi in cui mostreremo come verificare la condizione di invertibilità, per poi estendere il discorso al caso di funzioni apparentemente non invertibili.

 

Nel frattempo accenneremo al fatto che una funzione invertibile ammette l'esistenza di una funzione inversa, ma lo faremo a puro titolo esemplificativo e senza soffermarci sui calcoli. Il calcolo pratico dell'inversa sarà infatti l'oggetto della lezione successiva.

 

Definizione di funzione invertibile

 

Per definizione, una funzione è invertibile se ammette un'inversa. In altri termini, una funzione y=f(x) si dice invertibile se esiste una funzione

 

 

x=f^{-1}(y)

 

 

la cui legge individua la corrispondenza inversa rispetto a y=f(x).

 

La condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia invertibile, e dunque sia possibile individuare la corrispondenza inversa a quella che essa definisce, è che essa sia una funzione biunivoca. In parole povere, una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca.

 

Ricordando quindi che una funzione è biunivoca se e solo se, per definizione, è sia iniettiva che suriettiva, sappiamo allora automaticamente che una funzione è invertibile se e solo se è iniettiva e suriettiva.

 

Esempi di funzioni invertibili


I) Consideriamo

 

y=2x+3

 

Per i criteri che trovate negli articoli citati inizialmente una funzione siffatta è chiaramente biunivoca, e dunque invertibile. La sua inversa è data da

 

x=\frac{y-3}{2}

 

 

II) Le funzioni del tipo

 

y=x^n

 

con n un numero dispari (funzione potenza con esponente dispari) sono biunivoche. Consideriamo ad esempio

 

y=x^3

 

in questo caso il metodo grafico ci garantisce immediatamente l'iniettività e la suriettività, infatti il grafico sommario di questa funzione è

 

 

Esempio di funzione invertibile

 

 

Applicando il metodo grafico per l'iniettività si vede subito che, tracciando delle rette parallele all'asse x, queste possono intersecare il grafico in uno ed un solo punto. Per quanto riguarda la suriettività invece, si vede subito che la proiezione del grafico sull'asse y lo copre interamente.

 

Di conseguenza abbiamo a che fare con una funzione biunivoca, che quindi è una funzione invertibile, e dunque possiamo invertirla. La funzione inversa è

 

y=x^{\frac{1}{3}}

 

ovvero, in accordo con la definizione di potenza con esponente fratto, y=\sqrt[3]{x}.

 

Il grafico di questa nuova funzione è

 

 

Inversa di una funzione biunivoca

 

Funzioni invertibili dopo aver ristretto il codominio

 

La definizione di funzione invertibile parla chiaro: per far sì che una funzione sia invertibile, essa deve essere biunivoca, cioè sia iniettiva che suriettiva. Ma se venisse a mancare una di queste due condizioni, davvero non ci sarebbe modo di ottenere l'invertibilità, nemmeno applicando un qualsiasi sotterfugio?...

 

In realtà un modo c'è. Mentre l'iniettività di una funzione è una condizione imprescindibile, la suriettività ci lascia un discreto margine d'azione. È infatti possibile modificare leggermente una funzione iniettiva ma non suriettiva per ricavarne una funzione sia iniettiva che suriettiva, dunque biunivoca, dunque invertibile.

 

Abbiamo già accennato a questo fatto nella precedente lezione. Se abbiamo una funzione

 

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

 

che non è suriettiva, c'è una parte del codominio \mathbb{R} che non viene coperta dall'insieme delle immagini della funzione. In buona sostanza l'immagine della funzione Im(f) non coincide con il codominio Cod(f) ed è contenuta propriamente in esso.

 

Se però definiamo una nuova funzione con la medesima espressione analitica di f, ma con un codominio diverso

 

\tilde{f}:\mathbb{R}\to Im(f)

 

allora questa funzione, pur essendo analiticamente uguale ad f, diventa per incanto suriettiva. Probabilmente starete pensando che questo barbatrucco sia una boiata :D ma non è così: non dimenticate che nella definizione di una funzione

 

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \ \ \ \ y=f(x)

 

l'insieme di partenza e di arrivo sono tanto importanti quanto l'espressione analitica!

 

In sintesi, da una funzione iniettiva ma non suriettiva (non invertibile) possiamo ricavare una nuova funzione iniettiva e suriettiva (invertibile) semplicemente definendo una nuova funzione con la stessa espressione analitica, ma con il giusto codominio. ;)

 

Esempio di funzione invertibile dopo aver ristretto il codominio

 

III) La funzione esponenziale

 

 y=e^{x}

 

è iniettiva ma non suriettiva, infatti è sempre positiva e il suo grafico è di questo tipo

 

 

Esempio di funzione invertibile restringendo il codominio

 

 

Ora, questa funzione non soddisfa il nostro criterio per l'invertibilità, poiché non è suriettiva, ma possiamo restringere il codominio all'immagine della funzione, pensando alla funzione stessa come

 

f:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\infty).

 

In questo caso la funzione esponenziale diventa biunivoca e quindi invertibile, poiché è suriettiva sul nuovo intervallo (il grafico copre interamente il semiasse positivo delle y, tolto lo zero).

 

Essa ammette come inversa la funzione logaritmica

 

y=\ln{x}

 

il cui grafico è

 

 

Esempio di inversa di una funzione iniettiva ma non suriettiva

 

 

Abbiamo scoperto un fatto molto importante: all'atto pratico per invertire una funzione basta che essa sia iniettiva! Se volete vedere nella pratica come invertire una funzione, che sia iniettiva e suriettiva globalmente, o anche solo iniettiva, potete leggere l'articolo come calcolare l'inversa di una funzione.

 

 


 

Nel caso in cui qualcosa non fosse chiaro, o desideriate parlare di una funzione in particolare, potete aprire un topic nel Forum. Nel frattempo non dimenticate che avete a disposizione esercizi sia proposti che svolti, e che effettuando un paio di ricerche qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve. ;)

 

 

Gule Gule, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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