Seconda parte - grafico immediato di funzioni semplici

Questo articolo è la seconda parte della lezione sul metodo del grafico immediato, che mediante semplici considerazioni algebriche permette di disegnare il grafico intuitivo di funzioni con espressioni non troppo complicate. Hai letto la prima parte dell'articolo? Se no, la trovi qui: grafico immediato di funzioni reali di variabile reale.

 

Per concludere, ci occuperemo di mostrare come le principali operazioni algebriche influiscono sul grafico delle funzioni trigonometriche.

 

Grafico intuitivo per funzioni con il seno


L'esempio che prendiamo come riferimento è dato dalla funzione

 

f(x)=\sin(2x)

 

 

1) Disegnamo il grafico del seno sin(x):

 

Grafico del seno di x

 

 

2) Il coefficiente che moltiplica l'argomento dimezza il periodo, in sostanza è una contrazione orizzontale della funzione sin(x):

 

Grafico del seno di 2x

 

I due grafici sovrapposti:

 

Grafico del seno di x e del seno di 2x, sovrapposti

 

Dilatazioni e traslazioni orizzontali

 

Prendiamo ora la funzione

 

f(x)=3\sin(x+2)

 

 

1) Sommare la costante +2 all'argomento del seno significa traslarlo di distanza 2 a sinistra:

 

Grafico del seno di x+2, sin(x+2)

 

 

2) Il coefficiente che moltiplica sin(x+2) provoca una dilatazione del seno rispetto all'asse delle y

 

Grafico di una dilatazione

 

Riassumendo, il grafico di sin(x) da prendere come riferimento è disegnato in blu come sopra

 

Grafico riassuntivo su dilatazioni e traslazioni orizzontali

 

Dilatazioni e traslazioni verticali

 

Consideriamo la funzione

 

f(x)=2(\sin(x)+2)

 

ricordate (cfr. parte 1 dell'articolo) come sommare una costante all'intera funzione ne provochi una traslazione verticale, quindi non fatevi ingannare da questo esempio, svolgendo la moltiplicazione vi renderete conto di come sono tutti passaggi già noti:

 

2\sin(x)+4

  

Dunque avremo la dilatazione del seno vista nell'esempio sopra, ma spostata verso l'alto di 4:

 

Grafico con una dilatazione e una traslazione verso l'alto

 

Grafico intuitivo di funzioni con il coseno

Traslazioni e moduli

 

Il coseno si comporta rispetto al prodotto e alla somma di costanti esattamente come il seno, dunque abbiamo aggiunto il modulo

 

f(x)=|\cos(x-3)+5|

 

 

1) Tracciamo il grafico del coseno: cos(x)

 

Grafico del coseno di x

 

 

2) Consideriamo la somma nell'argomento del coseno, dunque cos(x-3): il grafico si sposta a destra di 3.

 

Grafico del coseno di x-3, traslazione orizzontale

 

3) Ora è il momento di sommare la costante +5 all'intera funzione: cos(x-3)+5. Abbiamo una traslazione verso l'alto di 5

 

Grafico della traslazione verso l'alto del coseno

 

 

4) |cos(x-3)+5|: la funzione è tutta positiva, dunque il modulo, che ribalta sopra l'asse x la parte negativa delle funzioni, in questo caso, non ha alcun effetto sul grafico!

 

Riassumendo:

 

Riassunto delle operazioni del metodo del grafico intuitivo

 

Moduli e traslazioni

 

Prendiamo infine la funzione

 

f(x)=|\cos(x-3)|+5

 

In questo caso, dopo aver traslato il coseno dobbiamo calcolarne il modulo, e dopo traslarlo verso l'alto di 5.

 

 

1) Disegnamo il grafico del coseno traslato verso destra, di cos(x-3):

 

Grafico della traslazione orizzontale del coseno

 

 

2) Passiamo al modulo applicato all'intera funzione: |cos(x-3)|

 

Grafico del modulo applicato al coseno

 

 

3) Sommiamo la costante positiva all'immagine della funzione, ne corrisponderà una traslazione verso l'alto: |cos(x-3)|+5

 

Grafico con traslazione verticale

 

Sovrapponendo tutti i grafici abbiamo:

 

Grafico con tutti i passaggi del metodo del grafico immediato

 

Sintesi delle regole del metodo del grafico immediato

 

Se un coefficiente moltiplica l'argomento di una funzione periodica il risultato è la stessa funzione ma con periodo il suo periodo diviso la costante. Ad esempio sin(x) ha periodo 2π; la funzione sin(4x) ha periodo 2π/4 cioè π/2.

 

Se un coefficiente moltiplica l'intera funzione otteniamo una dilatazione (se il coefficiente è maggiore di 1), o una contrazione (se il coefficiente è più piccolo di 1), della funzione rispetto al suo asse orizzontale. In sostanza 2sin(x) ha un grafico non più compreso tra -1 e 1, bensì tra -2 e 2.

 

 


 

La lezione è conclusa, ma non possiamo fare a meno di darvi qualche consiglio salva-vita ;) ... Nella brevissima lezione sul grafico intuitivo trovate una sintesi delle regole viste qui e nella prima parte. Inoltre se volete potete prendere delle funzioni a capocchia e disegnare il grafico online per imprimervi bene in mente la corrispondenza tra le operazioni e gli effetti grafici.

 

Qualcosa non è chiaro? Lo sai che nel Forum lo Staff e tutti gli utenti di YM possono aiutarti a risolvere il tuo problema? Apri una discussione, e prova a cercare tra le decine di migliaia di problemi che sono già stati risolti: potrebbe esserci anche il tuo... ;)

 

 

\alpha

 

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