Codominio

Il codominio di una funzione è l'insieme in cui sono contenute le immagini della funzione. A livello intuitivo il codominio coincide con l'insieme di arrivo, e non va confuso con l'immagine della funzione.

 

Due domande che perseguitano gli studenti dal 5° anno delle superiori in poi: che cos'è il codominio di una funzione? Come si calcola il codominio? Bene, in questa lezione vedremo come risolvere questi dubbi. Siete pronti? :)

 

Che cos'è il codominio

 

Intuitivamente il codominio di una funzione f è l'insieme dei valori che essa può assumere, e per indicarlo si utilizzano diversi simboli

 

\mbox{Cod}(f),\ \ \mbox{codom}(f)

 

e altri... Insomma ogni professore ha il suo modo di denotarlo.

 

Formalizzare matematicamente la nozione di codominio è facile, ma è complicato comprenderne davvero l'essenza perché il concetto di codominio è intrinseco al concetto di funzione.

 

Partiamo per il momento dalla definizione di una funzione

 

f: A\to B

 

In essa sono richiesti due insiemi non vuoti A e B, rispettivamente l'insieme di partenza, o dominio, e l'insieme di arrivo, che prende il nome di codominio. Se omettiamo uno di questi due insiemi la definizione di funzione risulta incompleta (ed ecco giustificato il termine intrinseco).

 

Ad esempio, nell'immagine seguente l'insieme B è il codominio della funzione f. Notate come non tutti gli elementi di B sono colpiti dalle frecce che partono dall'insieme A.

 

 

Codominio

 

 

Il dominio e il codominio hanno quindi un ruolo centrale nella definizione di funzione. E allora perché il primo sembra così importante, mentre il secondo non gode della stessa fama? La risposta a questa domanda è riassumibile in una frase: "Sacrifichiamo il rigore matematico a favore dell'intuito". Il concetto di codominio può risultare ostico soprattutto se si è alle superiori, per questo motivo si preferisce sorvolaresenza approfondire ulteriormente la questione. È giusto? È sbagliato? Non sta a noi rispondere, non è il tema di questa lezione dopotutto. 

 

Piuttosto torniamo a noi...

 

Esempi sul codominio

 

1) Consideriamo la funzione f: \mathbb{R}\to (0, +\infty) definita da f(x)= e ^x. Il codominio è già riportato nell'intestazione

 

f: \mathbb{R}\to(0,+\infty)

 

il nostro compito sarà quello di scrivere:

 

 \mbox{cod}(f)= (0,+\infty).

 

 

2) Il codominio della funzione f: \mathbb{R}\to \mathbb{R} definita da f(x)= e ^x è \mbox{cod}(f)=\mathbb{R}.

 

 

3) Il codominio della funzione f:\left[0, \frac{1}{2}\right]\to [0,1] definita da f(x)= x è \mbox{cod}(f)= [0,1]

 

 

4) Il codominio della funzione f:\mathbb{R}\to [0,1] definita da f(x)= |\sin(x)| è \mbox{cod}(f)= [0,1].

 

In generale una funzione

 

f:\mbox{Pippo}\to \mbox{Pluto}

 

ha per codominio

 

\mbox{cod}(f)= \mbox{Pluto}

 

Come si calcola il codominio

 

È fondamentale comprendere che il codominio non si calcola, né si determina, perché è già dato nell'intestazione della funzione e, parlando papale papale, tutti gli esercizi del tipo "determinare il codominio di una funzione" o "calcolare il codominio di una funzione" sono fuorvianti.

 

Ciò che si può determinare è in realtà l'immagine di una funzione, di cui parleremo approfonditamente nella lezione successiva.

 

Esiste una sostanziale differenza tra il concetto di codominio e quello di immagine, e in generale possiamo dire che l'immagine di una funzione è contenuta nel codominio. In particolare, se i due insiemi coincidono allora la funzione è suriettiva. Per approfondire vi rimandiamo alla lettura della lezione dedicata all'immagine.

 

Nota importante: ci sono alcuni insegnanti che volutamente non fanno distinzioni tra codominio e immagine (a torto!). Se ciò fosse vero allora tutte le funzioni sarebbero suriettive e ovviamente non è così. Sarà vostra premura chiedere direttamente al vostro prof cosa vuole intendere per codominio.

 

 


 

La lezione finisce qui: se avete dubbi in merito vi suggeriamo di utilizzare la barra di ricerca interna, abbiamo trattato questo argomento in diverse occasioni. ;)

 

A presto

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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