Controimmagine

La controimmagine di un insieme C del codominio, mediante una funzione, è l'insieme degli elementi del dominio che vengono mandati in C dalla funzione. La controimmagine viene anche detta preimmagine o antiimmagine.

 

Sappiamo cos'è una funzione e com'è definita, e sappiamo qual è il verso delle frecce che esprimono il comportamento delle funzioni. Cosa succede quando si percorrono le frecce al contrario? Cerchiamo di capirlo introducendo la nozione di controimmagine di un punto o di un insieme mediante una funzione.

 

Controimmagine di un insieme mediante una funzione

 

Consideriamo una funzione f:A\longrightarrow B, dove A è il dominio e B è il codominio. Sia inoltre C\subseteq B un sottoinsieme del codominio.

 

Definiamo controimmagine dell'insieme C mediante la funzione f l'insieme degli elementi a del dominio A la cui immagine appartiene a C, ovvero

 

f(a)\in C

 

Questo scioglilingua viene così tradotto in simboli

 

f^{-1}(C)= \left\{a\in A\mbox{ t.c. }f(a)\in C\right\}

 

dove f^{-1}(C) è il simbolo che solitamente viene utilizzato per indicare la controimmagine di C mediante f.

 

Attenzione a non confondere la nozione di funzione inversa con quella di controimmagine. I simboli che si utilizzano sono gli stessi, infatti l'inversa di una funzione f si indica con f^{-1} mentre la controimmagine di un insieme C mediante una funzione f si indica con f^{-1}(C).

 

La differenza tra le due nozioni è evidente: f^{-1} è una funzione, f^{-1}(C) un insieme del dominio di f.

 

Oltretutto non si può sempre definire l'inversa di una funzione (e a tal fine vi rimandiamo alla lettura della lezione del precedente link), mentre comunque siano date una funzione e un insieme del codominio è sempre possibile definire la controimmagine di C mediante f.

 

Nel caso della controimmagine di un punto (o meglio di un elemento) mediante una funzione f continua a valere la precedente definizione. Basterà infatti considerare come insieme del codominio un insieme costituito solamente dall'elemento che ci interessa.

 

Esempio sulla controimmagine di un insieme mediante una funzione

 

Cerchiamo di comprendere a fondo la definizione facendo riferimento ad un esempio grafico.

 

 

Controimmagine di una funzione

 

 

Nel disegno è riportata una funzione f:A\to B che associa

 

- ad a\in A il valore x\in B

- a b\in A il valore x\in B

- a c\in A il valore y\in B

- a d\in A il valore z\in B

- ad e\in A il valore w\in B

 

Consideriamo il sottoinsieme C=\{x, y\} contenuto in B. La controimmagine di C tramite f è l'insieme degli elementi di A che hanno per immagine x o y:

 

f^{-1}(C)= \left\{a,b,c\right\}

 

Come calcolare la controimmagine per funzioni da R a R

 

Cosa succede nel caso delle funzioni \mathbb{R}\to\mathbb{R}? La definizione rimane sempre la stessa, solo che questo caso si presta terribilmente ad esercizi e applicazioni varie ed eventuali.

 

Abbiamo due possibilità per determinare la controimmagine di un insieme mediante una funzione f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}: il metodo grafico e il metodo analitico.

 

Metodo grafico

 

Come spesso succede in Analisi 1, quando si parla di funzioni possiamo aiutarci moltissimo con la rappresentazione nel piano cartesiano. In breve, con il grafico.

 

Una funzione reale di variabile reale associa ad un'ascissa x del dominio una ed una sola ordinata y del codominio. Nulla vieta, in particolare, che uno stesso valore y sia raggiunto da più punti dell'insieme di definizione mediante f.

 

Consideriamo un insieme C del codominio. Esso sarà un intervallo o più in generale un'unione di intervalli.

 

Per determinarne la controimmagine basterà:

 

1) considerare i punti del grafico di f che corrispondono alle ordinate di C. Per trovarli è sufficiente tracciare delle linee orizzontali e passanti per i punti di C, che naturalmente giacciono sull'asse delle ordinate.

 

2) prendere le ascisse che corrispondono a tali punti del grafico. Possiamo individuare tali ascisse proiettando i punti del grafico trovati al punto 1) sull'asse delle ascisse.

 

Fine! L'insieme delle ascisse trovate in 2) è proprio la controimmagine di C mediante f, cioè f^{-1}(C).

 

 

Metodo analitico

 

...e come sempre succede in Analisi 1, c'è sempre una corrispondenza strettissima tra grafico di una funzione e considerazioni analitiche, dunque quando si parla di metodo grafico c'è sempre un metodo analitico a seguire.

 

Abbiamo detto che un insieme del codominio è sempre un intervallo o un'unione di intervalli. Come si passa da un insieme C alla controimmagine mediante f^{-1}(C) con i soli conticini?

 

L'idea è quella di ricavare una serie di condizioni algebriche che descrivano opportunamente f^{-1}(C) e di tradurle in una serie di soluzioni che descrivano la controimmagine. Ragioniamo per passi:

 

- esprimiamo C come unione di intervalli, supponiamo siano 3 (il ragionamento non dipende dal numero di intervalli, al massimo diminuisce o cresce la mole di calcoli da fare). Diciamo

 

C=I_1\cup I_2 \cup I_3

 

- rappresentiamo ogni intervallo mediante un sistema di due disequazioni. Un intervallo I è definito come il continuo dei punti compresi tra due estremi. Se chiamiamo tali estremi a,b e prendiamo a titolo esemplificativo un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra

 

I=[a,b)

 

possiamo esprimere tutti e soli i punti y appartenenti ad I=[a,b) come sistema di due disequazioni

 

\begin{cases}y\ge a\\ y\, \textless\, b\end{cases}

 

- Ora viene il bello: i punti dell'intervallo I nel codominio si possono esprimere come immagini di punti x che non conosciamo mediante la funzione f. Come? Basta chiamare y come f(x)

 

\begin{cases}f(x)\ge a\\ f(x)\, \textless\, b\end{cases}

 

 

All'atto pratico abbiamo sfruttato la condizione algebrica che definisce l'intervallo I per ricavarne una condizione algebrica che ne descrive la controimmagine f^{-1}(I)!

 

- Ci siamo! Risolviamo il precedente sistema di disequazioni e otteniamo le ascisse che costituiscono la controimmagine f^{-1}(I) dell'intervallo I mediante f.

 

- Se scriviamo i sistemi di disequazioni relativi ad ogni intervallo di C, risolviamo ognuno di essi e uniamo le soluzioni di tali sistemi, otteniamo la controimmagine di C tramite f.

 

 

Nel caso in cui vi siano intervalli costituiti da un solo punto il sistema di disequazioni che lo rappresenta si descriverà mediante un'unica equazione. Se ad esempio

 

I=\{c\}\Rightarrow I=[c,c]\Rightarrow \begin{cases}y\geq c\\ y\leq c\end{cases}\Rightarrow y=c

 

La condizione algebrica con cui ne ricaveremo la controimmagine sarà dunque

 

f(x)=c.

 

Esempi sulla controimmagine di insiemi mediante funzioni da R a R

 

E.1) Prendiamo la funzione f(x)= -\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x -1 e l'intervallo C= [1,2] contenuto nel codominio della funzione.

 

La controimmagine dell'insieme C tramite f è l'insieme f^{-1}(C)= [1,2]\cup[3, 4], e non è difficile vederlo con il metodo grafico proposto poco sopra

 

 

Controimmagine di una funzione reale

 

 

Verifichiamolo con il metodo analitico:

 

f^{-1}([1,2]):=\left\{x\in\mathbb{R}: f(x)\in [1,2]\right\}

 

Cosa si intende con la scrittura f(x)\in [1,2]?

 

Semplicissimo: questa scrittura equivale alla catena di disequazioni 1\le f(x)\le 2 e dunque

 

1\le-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x-1 \le 2\iff \begin{cases}-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x-1\ge 1\\ -\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x-1\le 2\end{cases}.

 

Risolvendo il sistema otterremo quello che stavamo cercando, ovvero la controimmagine. Tramite semplici calcoli arriveremo a scrivere che f^{-1}([1,2])= [1,2]\cup [3,4].

 

 

E.2) Consideriamo la funzione f(x)=x+5 e l'insieme C=[1,2)\cup (3,6)\cup \{9\}. Determiniamo f^{-1}(C).

 

Lasciamo a voi l'applicazione del metodo grafico, che è molto semplice. f descrive infatti una retta nel piano cartesiano.

 

Applichiamo il metodo analitico. C è unione di tre intervalli di cui uno è costituito da un solo punto. Scriviamo i corrispondenti sistemi

 

\begin{cases}f(x)\ge 1\\ f(x)\,\textless\,2\end{cases}\bigcup\ \ \begin{cases}f(x)\,\textgreater 3\\ f(x)\,\textless 6\end{cases}\bigcup\ \ \left\{f(x)=9\right\} 

 

ossia

 

 \begin{cases}x+5\ge 1\\ x+5\,\textless\,2\end{cases}\bigcup\ \ \begin{cases}x+5\,\textgreater\, 3\\ x+5\,\textless\, 6\end{cases}\bigcup\ \ \left\{x+5=9\right\}

 

Risolviamo tutto quanto e uniamo le soluzioni: otterremo come controimmagine di C l'insieme

 

f^{-1}(C)=[-4,-3)\cup (-2,1) \cup \{4\}.

 

 


 

In caso di dubbi o problemi, vi suggeriamo di cercare tra le migliaia di esercizi svolti presenti su YM con la barra di ricerca interna: ce n'è per tutti i gusti! :)

 

 

Alla prossima! 

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione precedente


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