Come stabilire se una funzione è suriettiva

Una funzione suriettiva (o surgettiva) è una funzione che raggiunge ogni elemento del codominio da uno o più elementi del dominio, o equivalentemente diciamo che una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

 

In questa lezione capiremo cosa si intende per funzione suriettiva quando abbiamo a che fare con funzioni f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, e mostreremo i metodi attraverso i quali è possibile capire se una data funzione è suriettiva oppure no.

 

Per chi se lo fosse perso, nell'articolo iniettività, suriettività e biunivocità di una funzione abbiamo introdotto le definizioni di funzione iniettiva, suriettiva e biunivoca tra insiemi qualsiasi, f: A → B.

 

Come stabilire se una funzione è suriettiva

 

Per definizione

 

 

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ \ \ \ \ y=f(x)

 

 

è una funzione suriettiva se per ogni y appartenente al codominio (l'insieme di arrivo), esiste almeno un punto x nel dominio tale che f(x)=y.

 

In sostanza si tratta di capire se, per ogni elemento dell'insieme di arrivo, esiste un elemento nell'insieme di partenza per cui la funzione valutata in quel punto dà proprio l'elemento cercato.

 

Nella pratica come è possibile stabilire se una funzione è suriettiva o meno?

 

Metodo analitico per lo studio della suriettività


Il metodo analitico per capire se una funzione è suriettiva non è altro che l'applicazione della definizione di funzione suriettiva che abbiamo dato poco sopra. Si tratta in sostanza di trovare per ogni y\in\mathbb{R} almeno una x\in\mathbb{R} tale che f(x)=y.

 

In simboli vogliamo che valga l'implicazione:

 

 

\forall y\in\mathbb{R}\ \ \exists x\in\mathbb{R}\ \mbox{ t.c. }\ f(x)=y

 

 

vale a dire: per ogni y appartenente ad \mathbb{R} esiste (almeno una) x appartenente ad \mathbb{R} tale che f(x)=y.

 

Nella pratica si tratta di considerare f(x)=y come un'equazione e di risolverla in favore di x. Se l'approccio funziona, allora la funzione è suriettiva. In caso contrario, per negazione, si può cercare almeno uno specifico valore y che non ammette nemmeno una preimmagine x, nel qual caso la funzione non è suriettiva.

 

Ricordate sempre:

 

- di controllare che la x trovata (la preimmagine) appartenga al dominio della funzione;

 

- che l'implicazione deve valere per ogni y. Quindi basta un solo valore di y che non ammette neanche una preimmagine x per poter concludere che la funzione non è suriettiva;

 

- di contro, ragionando con una generica y, se si trova almeno una generica x che funge da preimmagine allora ne consegue che la funzione è suriettiva, in forza della generalità di y.

 

I successivi esempi e gli esercizi delle schede correlate chiariranno nel dettaglio tutti questi aspetti. ;)

 

Metodo grafico per lo studio della suriettività

 

Come nel caso della verifica dell'iniettività (vedi come controllare se una funzione da R a R è iniettiva), il metodo grafico per lo studio della suriettività è molto più sbrigativo, ma il problema è che dobbiamo essere in grado di tracciare il grafico qualitativo della funzione, cioè saperne determinare l'andamento sommario.

 

Supponendo di aver tracciato il grafico della funzione, per stabilire se la funzione assegnata è suriettiva è sufficiente osservare se la proiezione dell'intero grafico sull'asse delle y copre interamente l'asse delle y.

 

Se sì, la funzione è certamente suriettiva; in caso contrario non lo è.

 

Esempi di funzioni suriettive e non


I) Consideriamo la funzione

 

y=x

 

Analiticamente la suriettività della funzione identità risulta ovvia, infatti qualunque  y\in\mathbb{R} scegliate nel codominio la x corrispondente è proprio uguale alla y che avete scelto in partenza

 

x=y

 

Graficamente y=x è la bisettrice del primo e terzo quadrante, cioè

 

 

Ogni funzione lineare è suriettiva

 

 

La proiezione del grafico sull'asse delle y copre l'intero asse delle y, quindi la funzione identità è suriettiva.

 

 

II) Consideriamo la retta

 

y=3x+5


Il metodo analitico ci garantisce immediatamente la suriettività di questa funzione, infatti scelto un valore y qualunque, potremo trovare una (in questo caso la) corrispondente preimmagine x come

 

x=\frac{y-5}{3}

 

quindi la funzione considerata è certamente suriettiva.

 

Il metodo grafico è ancora una volta molto veloce, infatti risulta

 

 

Una retta (funzione lineare) rappresenta una funzione suriettiva

 

 

Anche in questo caso, e in generale per qualsiasi retta, il metodo grafico ci dice chiaramente che la funzione è suriettiva.

 

 

III) Consideriamo una parabola, per esempio

 

y=2x^2+4x-5

 

Proviamo ad applicare il metodo analitico e a calcolare le preimmagini esplicitamente. Investighiamo: scegliamo un valore di y arbitrariamente, ad esempio y=1, e cerchiamone le eventuali preimmagini

 

\\ 1=2x^2+4x-5\ \to\ 2x^2+4x-6=0

 

Risolviamo l'equazione di secondo grado appena scritta

 

x_1=\frac{-2-4}{2}=-3\ \ \mbox{ ; }\ \ x_2= \frac{-2+4}{2}=1

 

Per y=1 abbiamo trovato due preimmagini (cioè due x tali che f(x)=y).

 

Più in generale, nell'esempio considerato provando con un qualsiasi valore y\geq -7 troverete sempre due valori accettabili di x.

 

Proviamo però a considerare un valore y<-7, ad esempio y=-8:

 

-8=2x^2+4x-5\ \to\ 2x^2+4x+3=0

 

risolvendo l'equazione di secondo grado si vede che il delta quarti è negativo, dunque non abbiamo soluzioni. Conseguentemente non esiste alcuna preimmagine per il valore y=-8, quindi la funzione non è suriettiva.

 

Anche in questo caso il metodo grafico è molto più rapido. La parabola

 

y=2x^2+4x-5

 

ha vertice in

 

\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)=(-1,-7)

 

(da qui si capisce perché non abbiamo ottenuto alcuna soluzione per un valore di y inferiore a -7) ed il grafico qualitativo sarà quindi

 

 

Esempio di funzione non suriettiva

 

 

Dal grafico si vede chiaramente che per valori di y al di sotto di -7 non viene coperto l'asse delle y, quindi la funzione non è suriettiva. Basta infatti trovare anche un solo valore di y che la funzione non copre per poter dire che essa non è suriettiva.

 

Rendere suriettiva una funzione non suriettiva

 

La suriettività non è una proprietà tanto stringente quanto l'iniettività, infatti è sempre possibile rendere suriettiva una funzione (non è così invece per l'iniettività).

 

Pensate alla parabola di cui abbiamo parlato nel terzo esempio

 

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \ \ \ \ f(x)=2x^2+4x-5

 

Come abbiamo detto, essa non è suriettiva come funzione f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. Se però restringiamo il codominio della funzione alla parte di \mathbb{R} in cui questa ha controimmagini, per intenderci da -7 in su, allora avremmo una funzione suriettiva.

 

In questo modo otteniamo una nuova funzione

 

\tilde{f}:\mathbb{R}\rightarrow [-7,\infty),\ \ \ \ \ \tilde{f}(x)=2x^2+4x-5

 

che è suriettiva! Questo procedimento è applicabile a qualunque funzione non suriettiva, e si dice restrizione del codominio all'immagine della funzione e ne parliamo in dettaglio nella lezione successiva.

 

 


 

Abbiamo finito, ma non scappate! Date uno sguardo alla scheda di esercizi correlati, ci sono esercizi proposti con soluzioni e altri completamente svolti. C'è anche un tool per controllare la suriettività online. Ricordate poi che abbiamo già risolto una valanga di problemi qui su YM, quindi la barra di ricerca interna sarà sempre la vostra migliore amica. ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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