Integrali impropri notevoli

Pronti per vedere una delle lezioni più importanti nel contesto degli integrali impropri? Qui di seguito elencheremo tutti i possibili integrali impropri notevoli (o integrali impropri fondamentali), che si riveleranno importantissimi nella risoluzione degli esercizi e soprattutto nello studio della convergenza.

 

In realtà considereremo dei casi particolari, ma fondamentali per lo studio del comportamento degli integrali impropri. Per poter affrontare con serenità questo argomento, studieremo cinque classi di integrali.

 

Tutti i risultati che seguono possono essere ricavati mediante le definizioni che abbiamo studiato nelle precedenti lezioni. Data la loro frequente ricorrenza nulla vi vieta di darli per buoni nella risoluzione degli esercizi, compresi quelli che affronterete in sede d'esame. Non spaventatevi se siete smemorati: il continuo esercizio li imprimerà nella vostra memoria; e se proprio non doveste ricordarli, rimboccatevi le maniche e a seconda dei casi procedete con:

 

- la definizione di integrale improprio di prima specie;

 

- la definizione di integrale improprio di seconda specie.

 

Tabella degli integrali impropri notevoli

 

Caso 1: integrali di potenze con intervallo di integrazione [0,α)

 

Sia \alpha>0. Allora

 

\int_{0}^{\alpha}\frac{1}{x^p}dx\ \to\ \begin{cases}\mbox{converge }&\mbox{ se }p<1\\ \mbox{diverge }&\mbox{ se }p\ge 1\end{cases}

 

Possiamo generalizzare il precedente integrale con:

 

\int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ \to\ \begin{cases}\mbox{converge}&\mbox{ se }p<1\\ \mbox{diverge }&\mbox{ se }p\ge 1\end{cases}

 

 

Caso 2: integrali di potenze con intervallo di integrazione [α,+∞)

 

Sia \alpha>0. Allora:

 

\int_{\alpha}^{+\infty}\frac{1}{x^{p}}dx\ \to\ \begin{cases}\mbox{converge}&\mbox{ se }p>1\\ \mbox{diverge}&\mbox{ se }p\le 1\end{cases}

 

 

Caso 3: integrale improprio con potenza e logaritmo in [0,α) 

 

Sia 0<\alpha<1. Allora

 

\int_{0}^{\alpha}\frac{1}{x^{a}|\ln(x)|^{b}}\ \to\ \begin{cases}\mbox{ converge }&\mbox{ se }\begin{cases}a<1\quad\forall b\in\mathbb{R}\\ a=1\quad b>1\end{cases}\\ \mbox{ diverge}&\mbox{ se }\begin{cases}a>1\quad\forall b\in\mathbb{R}\\ a= 1\quad b\le 1\end{cases}\end{cases}

 

 

Caso 4: Integrale improprio con potenza e logaritmo in [α,+∞)

 

Sia \alpha>1. Allora:

 

\int_{\alpha}^{+\infty}\frac{1}{x^{a}\ln^{b}(x)}dx\ \to\ \begin{cases}\mbox{converge}&\mbox{ se }\begin{cases}a>1\mbox{ e }b\in\mathbb{R}\\ \mbox{oppure}\\ a=1\mbox{ e }b>1\end{cases}\\ \mbox{diverge}&\mbox{ se }\begin{cases}a<1\mbox{ e }b\in\mathbb{R}\\\mbox{oppure}\\ a=1\mbox{ e }b\le 1\end{cases}\end{cases}

 

 

Caso 5: Integrale improprio con logaritmo in (1,α]

 

Sia \alpha>1. Allora:

 

\int_{1}^{\alpha}\frac{1}{\ln^{p}(x)}dx\ \to\ \begin{cases}\mbox{converge}&\mbox{ se }p<1\\ \mbox{diverge }&\mbox{ se }p\ge 1\end{cases}

 

Integrali impropri notevoli e confronto asintotico

 

Abbiamo elencato i cosiddetti integrali impropri notevoli: ora riformuleremo il criterio del confronto asintotico che abbiamo visto nelle lezioni

 

- sui criteri di convergenza per integrali impropri di prima specie

 

- sui criteri di convergenza per integrali impropri di seconda specie

 

e vedremo come combinare i risultati della precedente tabella con il confronto asintotico. Vedrete che, in questo modo, potremo studiare la convergenza di tantissimi integrali impropri.

 

 

Caso 2 - Infinitesimo campione \frac{1}{x^{\alpha}}

 

Sia f:[a, +\infty)\to \mathbb{R} una funzione continua strettamente positiva ed asintoticamente equivalente all'infinitesimo campione per x\to+\infty

 

f(x)\sim_{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}

 

allora:

 

\begin{align*}\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\mbox{ converge}&\iff \int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}dx\mbox{ converge}\\&\\&\iff \alpha>1\end{align} 

 

 

Esempio

 

Studiamo la convergenza dell'integrale improprio di prima specie

 

\int_{1}^{\infty}\frac{\sin(\frac{1}{x})}{\sqrt{x}}dx

 

La funzione integranda è positiva nel dominio di integrazione. Il limite notevole del seno in forma generale ci permette di scrivere la seguente equivalenza asintotica

 

\sin\left(\frac{1}{x}\right)\sim_{\infty}\frac{1}{x}

 

da cui

 

\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}\sim_{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}

 

La funzione integranda è asintoticamente equivalente a \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} e, poiché \frac{3}{2}>1, concludiamo l'integrale converge. Sottolineamo ancora una volta l'importanza di conoscere bene i limiti notevoli.

 

 

Il precedente criterio può essere riformulanto anche nel caso in cui abbiamo a che fare con intervalli limitati, ma con funzioni illimitate in essi.

 

 

Caso 1 - Infinito campione \frac{1}{(x-a)^{\alpha}}

 

Sia f:(a, b]\to \mathbb{R} una funzione a valori positivi ed asintoticamente equivalente all'infinito campione per x\to a^+

 

f(x)\sim_{ a^{+}}\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}

 

Allora:

 

\begin{align*}\int_{a}^{b}f(x)dx\mbox{ converge }&\iff\int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^{\alpha}} dx\mbox{ converge}\\&\\&\iff \alpha<1\end{align}

 

Naturalmente questo teorema può essere riscritto per l'estremo b, modificando ciò che deve essere modificato. ;)

 

 

Esempio

 

Studiamo il carattere dell'integrale improprio:

 

\int_{0}^{1}\frac{\sin(x)}{x\sqrt{x}}dx

 

La funzione integranda è positiva nell'intervallo di integrazione e presenta un punto problematico in x= 0. Procediamo per stime asintotiche:

 

\frac{\sin(x)}{x\sqrt{x}}\sim_{0^+} \frac{x}{x\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}

 

La funzione integranda per x\to 0^+ è asintoticamente equivalente alla funzione

 

\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}

 

Poiché \frac{1}{2}<1, ne consegue che l'integrale di partenza converge.

 

 

Osservazione fondamentale

 

In generale, per studiare un integrale improprio dovrete determinare la funzione asintotica dell'integranda. Se possibile, farete in modo che la funzione asintotica sia riconducibile a uno dei cinque casi elencati all'inizio di questo articolo. La difficoltà più grande risiede quindi nella ricerca della funzione asintotica all'integranda, ma se si conosce bene la teoria dei limiti, delle stime asintotiche e anche gli sviluppi in serie di Taylor potrete dormire sogni tranquilli. ;)

 

 

Esempio completo - convergenza di un integrale improprio misto

 

Portiamo ora un esempio un po' più elaborato dei precedenti: vogliamo studiare il comportamento dell'integrale improprio:

 

\int_{0}^{+\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}\ln(1+\sqrt[3]{x})}dx

 

La funzione integranda è positiva e presenta due punti problematici, uno dei quali è 0, l'altro è invece +\infty. Spezziamo l'integrale come somma di integrali impropri. Consideriamo a tal proposito un punto c>0

 

\int_{0}^{+\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}\ln(1+\sqrt[3]{x})}dx= \int_{0}^{c}\frac{1-\cos(x)}{x^2\ln(1+\sqrt[3]{x})}dx+\int_{c}^{\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^2\ln(1+\sqrt[3]{x})}

 

Affrontiamo singolarmente i punti problematici. Il primo contributo consiste in un integrale improprio di seconda specie:

 

\int_{0}^{c}\frac{1-\cos(x)}{x^2\ln(1+\sqrt[3]{x})}dx

 

Per x\to 0^+ valgono le stime asintotiche

 

\\ 1-\cos(x)\sim_{0}\frac{x^2}{2}\\ \\ \ln(1+\sqrt[3]{x})\sim_{0}\sqrt[3]{x}

 

pertanto

 

\frac{1-\cos(x)}{x^2\ln(1+\sqrt[3]{x})}\sim_{0}\frac{\frac{x^2}{2}}{x^2\sqrt[3]{x}}= \frac{1}{2\sqrt[3]{x}}

 

Poiché la funzione integranda ha lo stesso comportamento di \frac{1}{2x^{\frac{1}{3}}} allora ne consegue che

 

\int_{0}^{c}\frac{1-\cos(x)}{x^2\ln(1+\sqrt[3]{x})}dx

 

converge.

 

Passiamo al secondo contributo, che consiste in un integrale improprio di prima specie:

 

\int_{c}^{\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^2\ln(1+\sqrt[3]{x})}

 

e studiamo il comportamento dell'integranda per x\to +\infty. Facciamo un po' di lavoro di semplificazione ed affidiamoci al criterio del confronto per gli integrali impropri di prima specie (comportamento tipico quanto abbiamo a che fare con una funzione limitata quale è cos(x))

 

1-\cos(x)\le 2\quad\forall x\in [c, +\infty)

 

di conseguenza

 

\int_{c}^{+\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^2\ln(1+\sqrt[3]{x})}dx\le \int_{c}^{\infty}\frac{2}{x^2\ln(1+\sqrt[3]{x})}dx

 

Inoltre possiamo applicare un'immediata stima asintotica che discende dal limite notevole del logaritmo, oltre alle sempreverdi proprietà dei logaritmi

 

\ln(1+\sqrt[3]{x})\sim_{+\infty}\ln(x^{\frac{1}{3}})= \frac{1}{3}\ln(x)

 

e dunque

 

\frac{2}{x^2\ln(1+\sqrt[3]{x})}\sim_{+\infty} \frac{6}{x^2\ln(x)}

 

Poiché l'integrale

 

\int_{c}^{\infty}\frac{1}{x^{2}\ln(x)}dx

 

converge (rientriamo nel caso 4), allora convergerà anche 

 

 \int_{c}^{\infty}\frac{2}{x^2\ln(1+\sqrt[3]{x})}dx

 

e per il criterio del confronto converge pure

 

\int_{c}^{+\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^2\ln(1+\sqrt[3]{x})}dx

 

Possiamo concludere che anche l'integrale di partenza converge perché somma di integrali convergenti.

 

 


 

Signore e signori, vii aspettiamo feroci e rapaci nella scheda correlata di esercizi risolti, nonché sul tool per studiare gli integrali impropri online. Se tutto ciò non bastasse, ricordate che YM è pieno zeppo di esercizi risolti e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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