Criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie

In questa lezione elencheremo i criteri per lo studio della convergenza di un integrale improprio di seconda specie, grazie ai quali saremo in grado di stabilire se un dato integrale improprio di seconda specie converga o meno senza ricorrere al calcolo esplicito né alla definizione.

 

In modo del tutto analogo a quanto abbiamo scritto nella lezione sui criteri di convergenza per integrali impropri di prima specie, esistono moltissime funzioni per le quali diventa difficile, se non impossibile, determinare il valore esatto dell'integrale improprio. Nonostante ciò è utile e spesso richiesto di determinare perlomeno il loro carattere.

 

Da qui la necessità di imparare e di saper applicare tutti i teoremi che riguardano l'integrabilità e il comportamento degli integrali impropri di seconda specie.

 

Criteri di convergenza per integrali impropri di seconda specie

 

Nell'enunciare i criteri di convergenza per integrali impropri di seconda specie ci riferiremo ad un intervallo di integrazione della forma [a,b). Nel caso degli intervalli del tipo (a,b] varranno enunciati del tutto analoghi.

 

Premettiamo una definizione che ci permetterà di enunciare i vari teoremi in una forma più compatta.

 

 

Definizione di funzione localmente integrabile

 

Diciamo che f:[a,b)\to\mathbb{R} è una funzione localmente integrabile su [a,b) se f è una funzione integrabile in [a,c] per ogni a<c<b.

 

 

Criterio del confronto per gli integrali impropri di seconda specie

 

Siano f, g: [a, b)\to \mathbb{R} due funzioni localmente integrabili su [a,b) e tali che 0\le f(x)\le g(x) per ogni x\in [a, b). Valgono allora le seguenti implicazioni.

 

A) Se \int_{a}^{b}g(x)dx è convergente, allora \int_{a}^{b}f(x)dx è convergente.

 

B) Se \int_{a}^{b}f(x)dx è divergente, allora \int_{a}^{b}g(x)dx è divergente.

 

Le stesse implicazioni valgono nel caso in cui le funzioni f,g siano definite nell'intervallo (a,b]. Tenendo inoltre a mente le proprietà degli integrali il teorema si estende con ovvie modifiche al caso di funzioni negative.

 

Per chi volesse leggere la dimostrazione - click!

 

 

Esempio

 

L'integrale improprio di seconda specie

 

\int_{0}^{1} \frac{\sin(\sqrt{x})}{x}dx

 

converge.

 

Notiamo innanzitutto che la funzione integranda è positiva per ogni x\in (0,1] e che è localmente integrabile su tale intervallo. Inoltre, grazie ad una nota proprietà della funzione seno

 

\sin(\sqrt{x})\le \sqrt{x}\quad\forall x\in (0, 1]

 

Pertanto dividendo entrambi i membri della disuguaglianza per la medesima quantità positiva

 

\frac{\sin(\sqrt{x})}{x}\le \frac{\sqrt{x}}{x}= \frac{1}{\sqrt{x}}

 

Chiamiamo g(x)= \frac{1}{\sqrt{x}}. Il corrispondente integrale improprio converge sull'intervallo assegnato, infatti grazie alla definizione risulta

 

\begin{align*}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx&= \lim_{c\to 0}\int_{c}^{1}\frac{1}{\sqrt{c}}\\&\\&=\lim_{c\to 0}(2-2\sqrt{c})= 2\end{align}

 

Il criterio del confronto garantisce dunque la convergenza dell'integrale improprio di partenza. Si noti che l'unica difficoltà del criterio del confronto consiste nel trovare una funzione che maggiori l'integranda e che sia conforme alle richieste del teorema; in questo contesto solo il continuo esercizio potrà aiutarvi ad allenare il vostro intuito. ;)

 

 

Definizione di funzione assolutamente integrabile

 

Per introdurre il teorema successivo ci serve una definizione che ne agevolerà di molto l'esposizione: la definizione di funzione assolutamente integrabile.

 

Data una funzione f:I\to\mathbb{R} diremo che essa è assolutamente integrabile su I se esiste finito l'integrale

 

\int_I |f(x)|dx

 

con I un intervallo qualsiasi. Nel caso di un integrale improprio diremo che l'integrale converge assolutamente.

 

 

Osservazione (il modulo dell'integrale è minore-uguale dell'integrale del modulo)

 

Grazie alla definizione di integrale improprio di seconda specie, ed al legame con la nozione di integrale definito, è facile dimostrare che gli integrali impropri godono delle principali proprietà degli integrali definiti. Tra queste, in particolare:

 

\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\le \int_{a}^{b}|f(x)|dx

 

 

Criterio di convergenza assoluta per integrali impropri di seconda specie

 

Sia f:[a,b)\to\mathbb{R} una funzione localmente integrabile in [a,b). Se f è assolutamente integrabile su [a,b) allora è pure integrabile in senso improprio su [a,b).

 

\mbox{Se }\int_{a}^{b}|f(x)|dx\mbox{ converge }\implies\int_{a}^{b}f(x)dx\mbox{ converge}

 

In sintesi, nell'ipotesi di funzione localmente integrabile, se un integrale improprio converge assolutamente allora converge pure in senso improprio. Nel caso di un intervallo del tipo (a,b] vale un enunciato del tutto analogo.

 

Per la dimostrazione - click!

 

 

Esempio

 

Consideriamo l'integrale improprio di seconda specie

 

\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}

 

La funzione presenta problemi nel punto x=0 ed è localmente integrabile su (0,2\pi]. Essa inoltre è a segno variabile: non possiamo utilizzare il criterio del confronto, perché viene meno una delle ipotesi (per l'appunto, quella relativa al segno).

 

Proviamo a studiarne la convergenza assoluta, considerando l'integrale del valore assoluto dell'integranda

 

\int_{0}^{2\pi}\left|\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\right|dx

 

Siamo a cavallo. Sappiamo infatti che vale la maggiorazione

 

\left|\sin(x)\right|\le 1

 

perché il seno è una funzione limitata a valori in [-1,1], sicché vale la disuaglianza:

 

\left|\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\right|\le \frac{1}{\sqrt{x}}\quad\forall x\in (0, 2\pi]

 

Ora, dato che abbiamo la convergenza del seguente integrale

 

\begin{align*}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{x}}dx&=\lim_{c\to 0}\int_{c}^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{x}}\\&\\&=\lim_{c\to 0}2\sqrt{2\pi}-2\sqrt{c}= 2\sqrt{2\pi}\end{align}

 

in forza del criterio del confronto è assicurata anche la convergenza dell'integrale

 

\int_{0}^{2\pi}\left|\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\right|dx

 

e a sua volta grazie al criterio di convergenza assoluta sappiamo automaticamente che converge

 

\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}

 

Come potete notare i due criteri si prestano per essere usati in successione, soprattutto quando abbiamo a che fare con funzioni a segno variabile nell'intervallo di integrazione.

 

 

Criterio del confronto asintotico

 

Siano f,g:[a,b)\to\mathbb{R} due funzioni localmente integrabili tali che f(x)\ge 0\mbox{ e }g(x)>0 per ogni x\in [a, b). Valgono le seguenti implicazioni.

 

A) Se

 

\lim_{x\to b^{-}}\frac{f(x)}{g(x)}= \ell\in [0, +\infty)

 

allora la convergenza dell'integrale \int_{a}^{b}g(x)dx implica la convergenza di \int_{a}^{b}f(x)dx.

 

B) Se

 

\lim_{x\to b^{-}}\frac{f(x)}{g(x)}= \ell\,\textgreater\, 0

 

allora la divergenza dell'integrale \int_{a}^{b}g(x)dx implica la divergenza dell'integrale \int_{a}^{b}f(x)dx.

 

Per questo criterio è fondamentale conoscere molto bene il concetto di equivalenza asintotica e, nella risoluzione degli esercizi, aiuta moltissimo conoscere a menadito i limiti notevoli.

 

 

Esempio

 

Consideriamo l'integrale improprio di seconda specie 

 

\int_{0}^{1}\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}dx

 

La funzione integranda è localmente integrabile su (0,1], ed è ovviamente positiva perché sia il seno che la radice sono funzioni positive nell'intervallo (0,1].

 

Poiché

 

\sin(x)\sim_{0} x\implies \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}\sim_{0}\sqrt{x}

 

ne consegue che l'integrale

 

\int_{0}^{1}\sqrt{x}dx

 

converge, e per il criterio del confronto asintotico converge anche l'integrale di partenza.

 

 


 

La lezione finisce qui. Non perdetevi la scheda correlata di esercizi svolti e, in caso di ulteriori necessità, servitevi pure della barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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