Criteri di convergenza per integrali impropri di prima specie

Quando abbiamo a che fare con gli integrali impropri talvolta è necessario capire a priori se essi convergono o meno, soprattutto quando il calcolo esplicito non è agevole o addirittura impossibile. Per moltissime funzioni, sebbene ammettano primitive, non riusciamo a determinare l'integrale indefinito con le tecniche note!

 

In tutti questi casi intervengono i criteri di convergenza per gli integrali impropri che, attenzione, non forniscono il valore dell'integrale improprio: ci dicono solamente se esso converge o meno. Lo scopo di questa lezione consiste nel presentare i principali criteri di convergenza per gli integrali impropri di prima specie.

 

Nel caso vi foste persi la lezione sulla definizione e sul calcolo degli integrali impropri di prima specie, sarebbe opportuno che la leggeste prima di procedere oltre. ;)

 

Criteri di convergenza per integrali impropri di prima specie

 

Nel presentare i seguenti criteri di convergenza per integrali impropri di prima specie faremo riferimento ad un intervallo di integrazione della forma [a,+\infty). Nel caso di un intervallo del tipo (-\infty,a] valgono teoremi del tutto analoghi.

 

Partiamo da una definizione che agevolerà parecchio l'esposizione degli enunciati.

 

 

Definizione di funzione localmente integrabile

 

Diciamo che [a,+\infty)\to\mathbb{R} è localmente integrabile su [a,+\infty) se è una funzione integrabile in [a,c]\ \forall c\textgreater a.

 

 

Condizione necessaria di convergenza per integrali impropri di prima specie

 

Sia f:[a,+\infty)\to[0,\infty) una funzione continua e positiva in [a,+\infty). Condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza dell'integrale improprio di prima specie è che:

 

\lim_{x\to +\infty}f(x)= 0

 

Sottolineamo che la condizione è solo necessaria ma non sufficiente: se sussiste, allora l'integrale improprio potrebbe convergere; se non sussiste, allora l'integrale improprio non converge sicuramente. Si tratta quindi di un criterio utile per dimostrare che un integrale improprio non converge.

 

Un controesempio classico è dato dall'integrale improprio

 

\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx

 

in cui il limite relativo al criterio è nullo

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}= 0

 

ma l'integrale improprio diverge!

 

\begin{align*}\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx&=\lim_{c\to +\infty}\int_{1}^{c}\frac{1}{x}dx \\ &\\ &= \lim_{c\to +\infty}\ln|c|=+\infty\end{align}

 

 

Criterio del confronto per integrali impropri di prima specie

 

Siano f,g:[a,+\infty)\to\mathbb{R} due funzioni localmente integrabili e tali che:

 

0\le f(x)\le g(x)\quad\mbox{per ogni }x\in [a,+\infty)

 

allora si può dimostrare che:

 

0\le \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\le \int_{a}^{+\infty}g(x)dx

 

Grazie alla precedente disuguaglianza possiamo asserire che:

 

- se l'integrale \int_{a}^{+\infty}g(x)dx converge, allora converge anche \int_{a}^{+\infty}f(x)dx.

 

- se l'integrale  \int_{a}^{+\infty}f(x)dx diverge, allora diverge anche \int_{a}^{+\infty}g(x)dx.

 

Ecco una dimostrazione (click).

 

 

Esempio

 

Consideriamo l'integrale improprio di prima specie

 

\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-x}}{x^2}dx

 

La funzione assegnata è positiva su [1,+\infty) in quanto rapporto di termini positivi, ed è ivi localmente integrabile essendo continua (segue da un noto criterio di integrabilità).

 

Per x\ \textgreater \  0 si dimostra abbastanza agevolmente che

 

0 \ \textless \ e^{-x}\le 1

 

infatti le funzioni esponenziali assumono sempre valori positivi, mentre la seconda disuguaglianza si ricava facilmente risolvendo la corrispondente disequazione esponenziale. Di conseguenza a parità di denominatore vale la maggiorazione

 

0 \ \textless \ \frac{e^{-x}}{x^2}\le \frac{1}{x^2}\quad \forall x\in [1, +\infty)

 

La funzione maggiorante è a sua volta localmente integrabile in quanto continua. Grazie a tale osservazione possiamo considerare l'integrale improprio di prima specie

 

\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

 

che è piuttosto semplice da studiare con la definizione, e che converge, per cui convergerà anche l'integrale di partenza perché vale la relazione:

 

0\le \int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-x}}{x^2}dx\le \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

 

L'esempio serve a mettere in luce la grande utilità del criterio del confronto per gli integrali impropri di prima specie: possiamo ricondurre integrali con integrande ostiche ad integrali impropri facili da studiare. :) 

 

 

Definizione di funzione assolutamente integrabile

 

Prima di parlare del prossimo teorema, il criterio di convergenza assoluta, abbiamo bisogno della definizione di funzione assolutamente integrabile.

 

Sia f:I\to\mathbb{R} una funzione qualsiasi. Diremo che essa è assolutamente integrabile se e solo se esiste finito l'integrale:

 

\int_{I}|f(x)|dx

 

dove I è un qualsiasi sottointervallo di \mathbb{R} (anche illimitato).

 

In buona sostanza una funzione si dice assolutamente integrabile su un intervallo se esiste finito l'integrale del valore assoluto della funzione sul dato intervallo. Nel caso degli integrali impropri diremo che il corrispondente integrale converge assolutamente.

 

 

Osservazione (modulo dell'integrale minore-uguale dell'integrale del modulo)

 

Facendo riferimento alla definizione di integrale improprio di prima specie e alla nozione di integrale di Riemann si può dimostrare agevolmente che gli integrali impropri godono delle stesse proprietà degli integrali definiti. In particolare risulta che

 

\left|\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\right|\le \int_{a}^{+\infty}|f(x)|dx

 

e in modo analogo per intervalli del tipo (-\infty,a].

 

 

Criterio di convergenza assoluta

 

Sia f:[a,+\infty)\to\mathbb{R} una funzione localmente integrabile su [a, +\infty). Se f è assolutamente integrabile su [a,+\infty), allora è pure integrabile in senso improprio su [a,+\infty).

 

\mbox{Se }\int_{a}^{+\infty}|f(x)|dx\mbox{ converge}\implies\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\mbox{ converge}

 

In altre parole, nell'ipotesi di funzione localmente integrabile, se un integrale improprio converge assolutamente allora converge pure in senso improprio. Nel caso di un intervallo del tipo (-\infty,a] vale un enunciato del tutto analogo.

 

Ecco la dimostrazione.

 

Attenzione: il criterio stabilisce che l'assoluta integrabilità è condizione sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità in senso improprio. Il viceversa del criterio di assoluta integrabilità non è vero in generale, poiché esistono funzioni integrabili che non sono assolutamente integrabili.

 

Un controesempio classico, un po' elaborato da dimostrare, è il seguente:

 

\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx\mbox{ converge mentre}\int_{1}^{+\infty}\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|dx\mbox{ diverge}

 

La dimostrazione è piuttosto contorta e preferiamo ometterla in questa sede. Nel caso potete fare una ricerca o chiedere direttamente lumi nel Forum. Riportiamo invece un esempio di applicazione del criterio di convergenza assoluta.

 

 

Esempio

 

Vogliamo verificare che il seguente integrale improprio converge:

 

\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{x^2}dx

 

Grazie al criterio di convergenza assoluta arriviamo a scrivere

 

\left|\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{x^2}dx\right|\le \int_{1}^{+\infty}\left|\frac{\cos(x)}{x^2}\right|dx

 

Sappiamo inoltre che cos(x) è una funzione limitata a valori in [-1,+1], sicché

 

|\cos(x)|\le 1\quad\forall x\in [1,+\infty)

 

quindi vale la relazione

 

\left|\int_{1}^{\infty}\frac{\cos(x)}{x^2}dx\right|\le \int_{1}^{\infty}\left|\frac{\cos(x)}{x^2}\right|dx\le \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx

 

L'ultimo integrale è convergente, indi per cui anche l'integrale di partenza lo è.

 

 

Criterio del confronto asintotico per integrali impropri di prima specie

 

Siano f,g:[a,+\infty)\to\mathbb{R} due funzioni rispettivamente non negativa e positiva:

 

f(x)\ge 0\ ,\ g(x)\textgreater 0\ \ \forall x\in [a, +\infty)

 

Supponiamo inoltre che f,g siano localmente integrabili, e che

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell

 

Allora valgono le seguenti affermazioni:

 

A) se \ell\in [0, +\infty) e \int_{a}^{+\infty}g(x)dx è convergente, allora \int_{a}^{\infty}f(x)dx converge.

 

B) Se \ell\in (0, +\infty) allora \int_{a}^{+\infty}f(x)dx converge se e solo se converge \int_{a}^{+\infty}g(x)dx.

 

C) Se \ell \in (0,+\infty] e \int_{a}^{+\infty}g(x)dx diverge (positivamente), allora divergerà anche l'integrale \int_{a}^{+\infty}f(x)dx.

 

 

Per la dimostrazione, click. Siamo consapevoli del fatto che l'enunciato è particolarmente denso, quindi vi suggeriamo di rileggerlo una manciata di volte prima di proseguire. Ora vediamo come applicare questo importante metodo.

 

 

Esempio

 

Il criterio del confronto asintotico per gli integrali impropri di prima specie viene applicato il più delle volte nel caso B), in cui il criterio si traduce in una condizione necessaria e sufficiente. Si tratta di ricondurre lo studio della convergenza ad un nuovo integrale improprio, con integranda asintoticamente equivalente a quella data nell'intorno di infinito. E possibilmente, che sia un equivalente asintotico semplice da digerire! :)

 

Consideriamo l'integrale improprio

 

\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx

 

Il nostro scopo è determinare una funzione g asintoticamente equivalente ad f per x\to +\infty, ossia tale per cui

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1

 

Anche se dovessimo trovare una funzione g tale per cui

 

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\ \ \ \mbox{ con }0<\ell<+\infty

 

niente paura: in questo caso potremmo prendere come equivalente asintotico la funzione \ell g(x). I coefficienti ci lasciano molto margine di manovra. ;)

 

Qui possiamo fare riferimento al limite notevole del seno in forma generale

 

\sin\left(\frac{1}{x}\right)\sim_{+\infty}\frac{1}{x}

 

e quindi, banalmente

 

\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\sim_{+\infty}\frac{1}{x^2}

 

Grazie alle stime asintotiche abbiamo determinato la funzione di cui avevamo bisogno per poter applicare il criterio. Poiché l'integrale dell'equivalente asintotico è convergente:

 

\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx\ \in\mathbb{R}

 

allora convergerà anche l'integrale di partenza.

 

È chiaro, probabilmente ci starete odiando per questo esempio. :P Noi siamo andati a colpo sicuro ma sappiate che nella pratica non funziona così: serve un po' di ragionamento ed un bel po' di esperienza prima di capire quale possa essere l'equivalente asintotico che fa al caso nostro. Spesso e volentieri in un solo esercizio possono essere necessari diversi tentativi prima di trovare la giusta strada risolutiva. Per questo motivo vi consigliamo prima o dopo di consultare gli esercizi svolti della scheda correlata. ;)

 

 

Criterio di confronto tra serie e integrale per integrali impropri di prima specie

 

Sia a\in\mathbb{N}. Consideriamo una funzione f:[a,+\infty)\to\mathbb{R} localmente integrabile su [a,+\infty) e che sia:

 

- positiva;

 

decrescente;

 

- infinitesima per x\to+\infty, ossia \lim_{x\to +\infty}f(x)=0.

 

Allora l'integrale improprio di prima specie converge se e solo se converge la seguente serie numerica

 

\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\mbox{ converge}\iff \sum_{n=a}^{+\infty}f(n)\mbox{ converge}

 

Questo teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente e mette in relazione due strumenti matematici all'apparenza diversi, ma che in realtà hanno lo stesso dna. ;)

 

 

Esempio

 

Studiamo la convergenza dell'integrale improprio:

 

\int_{1}^{+\infty}e^{-x^2}dx

 

La funzione integranda è positiva e infinitesima al tendere di x\to +\infty. La serie associata è:

 

\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-n^2} 

 

che converge (lo possiamo asserire grazie al criterio del rapporto per le serie). Possiamo concludere quindi che anche l'integrale di partenza converge.

 

 


 

Questa lezione è conclusa. Non perdetevi gli esercizi risolti della scheda correlata, e se volete aiutarvi nella risoluzione degli esercizi assegnati dai vostri professori servitevi pure del tool per studiare gli integrali impropri online. Ricordate inoltre che con la barra di ricerca interna potete reperire migliaia e migliaia di esercizi interamente svolti e disponibili su YM. ;) 

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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