Integrali impropri di prima specie

Gli integrali impropri di prima specie sono integrali su intervalli illimitati, del tipo (-∞,a], [a,+∞) o (-∞,+∞), e rappresentano una generalizzazione del concetto di integrale definito secondo Riemann. Definiti mediante la nozione di limite possono presentare valori finiti (convergere), infiniti (divergere) o non esistere.

 

L'integrazione secondo Riemann è limitante per le applicazioni pratiche, perché la richiesta per cui l'intervallo di integrazione sia limitato è molto forte. In questa lezione vedremo come allentare questo genere di ipotesi introducendo il concetto di integrale improprio di prima specie.

 

 

Definizione di integrale improprio di prima specie

 

Nel definire l'integrale che porta il suo nome, il matematico Riemann ha imposto due condizioni: l'integrale deve riferirsi ad un intervallo chiuso e limitato (1) e la funzione integranda deve essere definita e limitata in tale intervallo (2).

 

Qui di seguito generalizziamo la nozione di integrale definito indebolendo l'ipotesi (1), da cui seguirà la definizione di integrale improprio di prima specie. In altri termini impareremo a rinunciare alla limitatezza dell'intervallo di integrazione e ad integrare su semirette del tipo (-\infty, b] e [a, +\infty).

 

Definizione: sia f : [a,+∞) → R una funzione integrabile secondo Riemann negli intervalli del tipo [a,c] per ogni c≥a. Definiamo l'integrale improprio di prima specie della funzione f su [a,+∞) il limite dell'integrale definito di f su [a,c]

 

\int_{a}^{+\infty}f(x)dx= \lim_{c\to+\infty}\int_{a}^{c}f(x)dx

 

Se il limite al secondo membro esiste finito diremo che la funzione f è integrabile impropriamente su [a,+∞), o che l'integrale improprio converge al valore del limite, o ancora che esiste l'integrale generalizzato di f su [a,+∞).

 

Se il limite esiste ma è infinito diremo che l'integrale improprio diverge.

 

Se il limite non esiste diremo che l'integrale improprio è oscillante, oppure che non esiste.

 

Nel caso in cui il dominio di integrazione sia (-∞,b], e nelle ipotesi della definizione che abbiamo appena visto, scriveremo

 

\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{c\to -\infty}\int_{c}^{b}f(x) dx

 

Come calcolare gli integrali impropri di prima specie

 

Il metodo per calcolare gli integrali impropri, o meglio per studiarne la convergenza e calcolarne il valore in caso di convergenza, viene fornito direttamente dalla definizione.

 

Per prima cosa dovremo scrivere il limite che abbiamo visto nella definizione e calcolare l'integrale definito

 

\int_{a}^{c}f(x)dx

 

il cui valore dipenderà dal parametro c. Fatto ciò basterò semplicemente calcolare il limite per c che tende a più (meno) infinito. In buona sostanza si tratta di una combinazione tra un integrale di Riemann ed un limite: niente di particolare, non trovate? :)

 

 

Esempio (integrale improprio di prima specie convergente)

 

\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}dx

 

L'intervallo di integrazione [1, +\infty) non è limitato, però la funzione è integrabile secondo Riemann in tutti gli intervalli del tipo [1, c]\mbox{ con }c\geq 1 (perché la funzione è ivi continua).

 

Per definizione di integrale improprio:

 

\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}dx=\lim_{c\to +\infty}\int_{1}^{c} \frac{\ln(x)}{x^2}dx

 

A questo punto tralasciamo il limite e procediamo al calcolo dell'integrale definito. La tecnica più conveniente in questo caso è data dall'integrazione per parti

 

\begin{align*}\int_{1}^{c}\frac{\ln(x)}{x^2}dx&= \left[-\frac{1}{x}-\frac{\ln(x)}{x}\right]_{1}^{c} \\ & \\ &= 1-\frac{1}{c}-\frac{\ln(c)}{c}\end{align}

 

per cui concludiamo che:

 

\begin{align*}\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}dx &=\lim_{c\to+\infty}\int_{1}^{c}\frac{\ln(x)}{x^2}dx\\ & \\ &=\lim_{c\to +\infty}\left(1-\frac{1}{c}-\frac{\ln(c)}{c}\right)=1\end{align}

 

Il risultato del limite si ricava facilmente ricordando le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi e applicando un semplice confronto tra infiniti sui termini del terzo addendo. Poiché il limite esiste finito concludiamo che l'integrale improprio converge impropriamente a 1.

 

Come potete vedere non c'è nulla di difficile se si conoscono bene sia i limiti che gli integrali indefiniti.

 

 

Esempio (integrale improprio di prima specie divergente)

 

Come esempio di integrale improprio di prima specie divergente possiamo considerare

 

\int_{-\infty}^{0}xdx

 

La funzione integranda è continua e dunque banalmente integrabile su ogni intervallo della forma (-\infty,c]\mbox{ con }c\leq 0. Applicando la definizione risulta:

 

\begin{align*}\int_{-\infty}^{0}xdx & =\lim_{c\to -\infty}\int_{c}^{0}xdx \\ & \\ &=\lim_{c\to -\infty}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{c}^{0}\\ & \\ & =\lim_{c\to -\infty}\left(0-\frac{c^2}{2}\right)=-\infty\end{align}

 

In questo caso l'integrale improprio non converge, ed in particolare diverge negativamente.

 

 

Esempio (integrale improprio di prima specie oscillante)

 

Anche qui possiamo riferirci ad un semplice esempio

 

\int_{5}^{+\infty}\cos(x)dx

 

Dopo aver verificato che l'integranda è integrabile su qualsiasi intervallo del tipo [c,+\infty)\mbox{ con }c\geq 5 usiamo la definizione:

 

\begin{align*}\int_{5}^{+\infty}\cos(x)dx & =\lim_{c\to +\infty}\int_{5}^{c}\cos(x)dx\\ & \\ & =\lim_{c\to +\infty}\left[\sin(x)\right]_{5}^{c}\\ & \\ & =\lim_{c\to +\infty}\left(\sin(c)-\sin(5)\right)\ \not\exists\end{align}

 

Concludiamo che l'integrale improprio non esiste, o equivalentemente che oscilla, poiché non esiste il limite del seno all'infinito.

 

Integrali impropri di prima specie sulla retta reale

 

Nessuno ci impedisce di estendere la precedente definizione al caso degli integrali impropri sull'asse reale, cioè del tipo

 

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx

 

Per farlo è necessario richiedere che la funzione integranda f sia integrabile su qualsiasi intervallo chiuso e limitato. Scegliendo un generico punto c\in (-\infty, \infty) e considerando l'unione (-\infty, c]\cup[c, +\infty) si definisce

 

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx= \int_{-\infty}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{+\infty}f(x)dx

 

ossia, per definizione di integrale improprio di prima specie:

 

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\lim_{m\to -\infty} \int_{m}^{c}f(x)dx+\lim_{M\to +\infty}\int_{c}^{M}f(x)dx

 

 

Importantissimo: i due limiti della formula precedente sono indipendenti l'uno dall'altro, ecco perché abbiamo utilizzato due parametri distinti m,M.

 

 

Esempio (integrale improprio di prima specie sull'asse reale)

 

\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-x^2}dx

 

Secondo la definizione appena scritta abbiamo

 

\lim_{m\to -\infty}\int_{m}^{c}xe^{-x^2}+ \lim_{M\to +\infty}\int_{c}^{M}xe^{-x^2}dx

 

Calcoliamo i due integrali ricordando gli integrali notevoli in forma generale

 

\lim_{m\to -\infty}\left[-\frac{e^{-x^2}}{2}\right]_m^c+\lim_{M\to +\infty}\left[-\frac{e^{-x^2}}{2}\right]_c^M

 

Valutiamo le primitive agli estremi di integrazione

 

\lim_{m\to -\infty}\left[-\frac{e^{-c^2}}{2}+\frac{e^{-m^2}}{2}\right]+\lim_{M\to +\infty}\left[-\frac{e^{-M^2}}{2}+\frac{e^{-c^2}}{2}\right]

 

Gli addendi dipendenti da c sono costanti, quindi possiamo estrarli dai limiti grazie alle regole dell'algebra dei limiti 

 

-\frac{e^{-c^2}}{2}+\lim_{m\to -\infty}\left[\frac{e^{-m^2}}{2}\right]+\lim_{M\to +\infty}\left[-\frac{e^{-M^2}}{2}\right]+\frac{e^{-c^2}}{2}

 

Da qui si capisce che i due termini da c si cancellano indipendentemente dalla scelta di c; ricordando il comportamento della funzione esponenziale concludiamo inoltre che i due limiti valgono zero.

 

In definitiva l'integrale improprio converge a zero. Non lasciatevi sorprendere dal risultato: avete notato che l'intervallo di integrazione è simmetrico rispetto all'origine e che l'integranda è una funzione dispari?...

 

Osservazioni varie ed eventuali sugli integrali impropri di prima specie

 

Cosa volevamo intendere con l'osservazione finale dell'esempio precedente? Un aspetto che viene spesso sottovalutato dagli studenti: poiché gli integrali impropri vengono definiti a partire dall'integrale di Riemann mediante la nozione di limite, essi ereditano tutte le proprietà degli integrali definiti. Ciò è dovuto al fatto che il limite è un operatore lineare (in accordo con le regole dell'algebra dei limiti).

 

Di conseguenza è facile capire che gli integrali impropri di prima specie soddisfano le proprietà degli integrali, godono del medesimo significato geometrico e così via...

 

La seconda osservazione riguarda il metodo per lo studio della convergenza ed è più che altro un'anticipazione. La tecnica che abbiamo utilizzato si basa direttamente sulla definizione ma, come avrete modo di scoprire nele successive lezioni, non è affatto la più conveniente in termini pratici; potremmo infatti imbatterci in integrande piuttosto complicate o, ancor peggio, che non ammettono primitive esprimibili in termini di funzioni elementari.

 

 


 

Nella prossima lezione tratteremo gli integrali impropri di seconda specie. Non perdetevi la scheda correlata di esercizi svolti e, nel caso vogliate correggere degli esercizi che avete svolto per conto vostro, vi suggeriamo di usare il tool per gli integrali impropri online. ;)

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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