Integrali impropri di seconda specie

Gli integrali impropri di seconda specie sono integrali su intervalli limitati, del tipo [a,b) o (a,b], che costituiscono una generalizzazione dell'integrale definito di Riemann poiché riguardano l'integrazione di funzioni non necessariamente limitate.

 

Nella precedente lezione abbiamo presentato gli integrali impropri di prima specie mettendo in discussione le ipotesi richieste dalla definizione di integrale di Riemann, e in particolare abbiamo esteso il concetto di integrale definito agli intervalli illimitati.

 

Ora è giunto il momento di indebolire la seconda ipotesi: quella per cui la funzione integranda debba essere definita e limitata in un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Così facendo nasce l'esigenza di introdurre una nuova definizione adatta al caso di funzioni integrande definite ma non limitate su intervalli limitati aperti a destra [a,b) oppure aperti a sinistra (a,b], con a e b numeri reali finiti.

 

Questo tipo di integrale generalizzato viene convenzionalmente detto integrale improprio di seconda specie.

 

Definizione di integrale improprio di seconda specie

 

Definizione: sia f : [a,b) → R una funzione che sia integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato [a,c] con a<c. Chiamiamo integrale improprio di seconda specie di f su [a,b) il seguente limite:

 

\int_{a}^{b}f(x)dx= \lim_{c\to b^{-}}\int_{a}^{c}f(x)dx

 

Il limite può essere finito, infinito, o addirittura non esistere:

 

- se il limite esiste ed è finito, diremo che la funzione f è integrabile in senso improprio su [a,b), oppure che l'integrale improprio è convergente.

 

- Se il limite esiste ma è infinito, diremo che la funzione f non è integrabile impropriamente su [a,b), o equivalentemente che l'integrale improprio di seconda specie è divergente.

 

- Se il limite non esiste allora affermeremo che l'integrale improprio di f su [a,b) non esiste, o equivalentemente che è oscillante.

 

Se la funzione è definita nell'intervallo (a,b], cioè se l'insieme è aperto a sinistra, continua a valere la nomenclatura che abbiamo scritto in precedenza, sostanzialmente l'unica cosa che cambia è:

 

\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{c\to a^+}\int_{c}^{b}f(x)dx

 

Esempi di integrali impropri di seconda specie

 

1) Esempio di integrale improprio di seconda specie convergente

 

\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx

 

La funzione integranda presenta problemi al secondo estremo di integrazione, nel quale non è limitata perché al tendere di x\to 1^- la funzione integranda tende a più infinito.

 

D'altronde essa è continua in tutti gli intervalli nella forma \left[\frac{1}{2},c\right] con c<1, e per un noto criterio di integrabilità, la funzione è integrabile in \left[\frac{1}{2},c \right).

 

Dalla definizione di integrale improprio:

 

\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx= \lim_{c\to 1^{-}}\int_{\frac{1}{2}}^{c}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx

 

Risolvendo l'integrale con le tecniche note possiamo ottenerne il valore, che ovviamente dipenderà dal parametro c. Scriviamo la radice come potenza con esponente fratto e applichiamo la regola per il corrispondente integrale notevole

 

\begin{align*}\int_{\frac{1}{2}}^{c}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx&=\int_{\frac{1}{2}}^{c}(1-x)^{-\frac{1}{2}}dx \\ &\\ &=\left[-\frac{(1-x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\right]_{\frac{1}{2}}^{c}\\ &\\ &=\left[-2\sqrt{1-x}\right]_{\frac{1}{2}}^{c} \\ & \\&= \sqrt{2}-2\sqrt{1-c}\end{align}

 

Di conseguenza possiamo calcolare il limite dell'integrale improprio come

 

\begin{align*}\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}&= \lim_{c\to 1^{-}}\int_{\frac{1}{2}}^{c}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx\\& \\&= \lim_{c\to 1^-} \sqrt{2}-2\sqrt{1-c}= \sqrt{2}\end{align}

 

Poiché il limite esiste finito diremo che l'integrale improprio di seconda specie converge a \sqrt{2}.

 

 

2) Esempio di integrale improprio di seconda specie divergente

 

\int_{0}^{1}\frac{1}{x-1}dx 

 

Possiamo osservare che la funzione integranda è ben definita nell'insieme [0,1) e che non è limitata in tale intervallo, poiché quando x\to 1^{-} si ha che f(x)\to -\infty.

 

Ovviamente la funzione è continua in tutti gli intervalli del tipo [0, c] con c\textless 1 ed in quanto tale è integrabile.

 

Per definizione di integrale improprio avremo

 

\int_{0}^{1}\frac{1}{x-1}dx= \lim_{c\to 1^{-}}\int_{0}^{c}\frac{1}{x-1}dx

 

Lasciamo da parte il limite e calcoliamo l'integrale. Qui si vede subito che la primitiva è logaritmica, attenzione però a non dimenticare il valore assoluto!

 

\int_{0}^{c} \frac{1}{x-1}dx=\left[\ln|x-1|\right]_{0}^{c}= \ln|c-1|

 

Ora calcoliamo il limite:

 

\lim_{c\to 1^-}\int_{0}^{c}\frac{1}{x-1}dx= \lim_{c\to 1^-}\ln|c-1|=-\infty

 

dove il risultato del limite si determina ricordando il comportamento della funzione logaritmica in un intorno destro di zero. In questo caso diremo che l'integrale improprio di seconda specie non è convergente o, per essere più precisi, che diverge negativamente.

 

 

3) Esempio di integrale improprio di seconda specie che non esiste

 

\int_{0}^{1}-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}dx

 

Come sempre effettuiamo l'analisi preliminare sulla funzione integranda. Essa non è limitata quando x tende a zero, infatti la funzione comincia ad oscillare tra -\infty e  +\infty. La funzione integranda è però integrabile in tutti gli intervalli della forma [c,1] con 0\textless c\textless 1.

 

Applichiamo quindi la definizione di integrale improprio

 

\int_{0}^{1}-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}dx= \lim_{c\to 0^+}\int_{c}^{1}\left(-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}\right)dx

 

Tralasciamo il limite e risolviamo l'integrale. Ci troviamo di fronte ad un integrale fondamentale in forma generale, in cui è presente quella che a tutti gli effetti è una derivata composta:

 

\begin{align*}\int_{c}^{1}-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}dx&=\int_{c}^{1}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)dx\\ &\\ &=\left[\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right]_{c}^{1}\\ &\\ &=\sin(1)-\sin\left(\frac{1}{c}\right)\end{align}

 

Di conseguenza:

 

\begin{align*}\int_{0}^{1}-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}dx&= \lim_{c\to 0^{+}}\int_{c}^{1}-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}\\& \\&= \lim_{c\to 0^{+}}\left[\sin(1)-\sin\left(\frac{1}{c}\right)\right]\ \ \not\exists\end{align}

 

Poiché l'ultimo limite non esiste (si veda dimostrare che il limite di sin(1/x) per x che tende a zero non esiste), concludiamo dicendo che l'integrale improprio è oscillante.

 

Integrali impropri di seconda specie con più punti "problematici"

 

Finora abbiamo trattato solo il caso in cui la funzione integranda risulta illimitata nei punti estremi dell'intervallo, ma cosa succede se uno o più punti in cui la funzione risulta illimitata sono interni?

 

In tale eventualità spezziamo l'intervallo di integrazione in tanti sottointervalli, in modo che:

 

- in ogni sotto intervallo ricada un unico punto problematico;

 

- i punti problematici finiscano agli estremi.

 

Una volta fatto questo, spezziamo l'integrale come somma di integrali impropri che hanno come intervallo di integrazione ciascuno dei sottointervalli così ricavati.

 

 

Esempio di integrale improprio con integranda non limitata nell'intorno di un punto interno

 

\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx

 

La funzione integranda non è limitata in un intorno bucato del punto x=0, che è interno all'intervallo di integrazione, e addirittura in x= 0 essa non è definita. Possiamo vedere il dominio di integrazione come l'unione tra due insiemi: [-1, 0)\cup (0, 1].

 

Scriveremo dunque:

 

\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx= \int_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx

 

In questo modo abbiamo aggirato il problema e ci siamo ricondotti a due integrali impropri di seconda specie che possiamo studiare con la definizione.

 

L'esempio è molto utile in termini didattici perché come ben sappiamo gli integrali con valore assoluto non sono molto simpatici agli studenti. Avendo spezzato l'integrale su due intervalli su cui l'argomento del modulo ha un segno ben definito, possiamo ricorrere alla definizione di valore assoluto per eliminarlo, semplicemente specificando il segno:

 

\begin{align*}\int_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx&=\lim_{c\to 0^{-}} \int_{-1}^{c}\frac{1}{\sqrt{-x}}dx\\ &\\ &=\lim_{c\to 0^-}\int_{-1}^{c}(-x)^{-\frac{1}{2}}dx\\ &\\ &=\left[-\frac{(-x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\right]_{-1}^{c}\\ &\\ &=\lim_{c\to 0^-}\left[-2\sqrt{-x}\right]_{-1}^{c}\\ &\\ &= \lim_{c\to 0^{-}}\left[2-2\sqrt{-c}\right]=2\end{align}

 

L'altro integrale improprio di seconda specie si calcola in modo del tutto analogo

 

\begin{align*}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx&=\lim_{c\to 0^{+}} \int_{c}^{1}\frac{1}{\sqrt{+x}}dx\\ &\\ &= \lim_{c\to 0^{+}}\left[2-2\sqrt{c}\right]= 2\end{align}

 

Entrambi i limiti esistono finiti, pertanto 

 

\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx= \overbrace{\int_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx}^{=2}+\overbrace{\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{|x|}}dx}^{= 2}= 4

 

e diremo che la funzione è integrabile impropriamente nell'intervallo [-1,1] e che l'integrale improprio vale 4.

 

 

Esempio di integrale improprio di seconda specie con due estremi problematici

 

Vediamo un altro esempio. Vogliamo studiare e calcolare, se esiste, l'integrale improprio:

 

\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{1-x}\sqrt{x}}dx

 

Attenzione: la funzione integranda presenta problemi sia nel primo che nel secondo estremo. Abbiamo quindi due "punti problematici" che sono 0 e 1. Per procedere allo studio della convergenza dobbiamo spezzare l'intervallo di integrazione in due parti.

 

Consideriamo un generico punto \alpha\in (0,1), per cui i rispettivi intervalli saranno (0, \alpha] e [\alpha, 1). Scriveremo l'integrale come:

 

\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{1-x}\sqrt{x}}dx=\int_{0}^{\alpha}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{1-x}\sqrt{x}}dx+\int_{\alpha}^{1}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{1-x}\sqrt{x}}dx

 

Ciascuno dei due addendi è un integrale improprio di seconda specie e va risolto con le tecniche che abbiamo visto in precedenza. Lasciamo a voi l'onere di completare l'esercizio. ;) 

 

Osservazioni varie ed eventuali sugli integrali impropri di seconda specie

 

Esattamente come nel caso degli integrali impropri di prima specie, anche qui valgono osservazioni del tutto analoghe. In particolare poiché la definizione si basa sulla nozione di integrale di Riemann e sul concetto di limite, tutte le proprietà degli integrali vengono estese in modo naturale agli integrali impropri di seconda specie. Lo stesso discorso vale anche per il significato geometrico.

 

Riguardo allo studio della convergenza, bisogna tenere presente che il metodo fornito dalla definizione può risultare di difficile applicazione o, peggio, può essere del tutto inapplicabile (è ciò che succede quando le integrande non ammettono primitive esprimibili in termini di funzioni elementari). A tal proposito nelle prossime lezioni introdurremo dei criteri estremamente pratici per la convergenza. 

 

Come ultimissima osservazione vi facciamo notare che nei termini più generali possibili un integrale improprio può assumere comportamenti sia di prima che di seconda specie, ed in questo contesto è lecito parlare di integrali impropri misti. Un esempio è dato da

 

\int_1^{+\infty}\frac{1}{x-1} 

 

che riscriveremo nella forma

 

\int_1^{+\infty}\frac{1}{x-1}dx=\int_1^c\frac{1}{x-1}dx+\int_c^{+\infty}\frac{1}{x-1}dx 

 

ossia come somma di un integrale improprio di II specie e di uno di I specie.

 

 


 

Con questo abbiamo finito. Affinché possiate esercitarvi al meglio vi rimandiamo alla scheda correlata di esercizi svolti e al tool per studiare gli integrali impropri online. Non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e che potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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