Teorema della media integrale

La media integrale di una funzione su un intervallo è il rapporto tra l'integrale definito della funzione sull'intervallo e la lunghezza dell'intervallo. Il teorema della media integrale è un risultato che permette di esprimere la media integrale mediante la valutazione della funzione in un punto interno all'intervallo.

 

Dopo il teorema fondamentale del calcolo integrale, un altro risultato notevole della teoria dell'integrazione è certamente il teorema della media integrale, detto anche teorema del valor medio integrale.

 

In questa lezione vedremo innanzitutto la definizione di media integrale, dopodiché passeremo ad enunciare e a dimostrare il teorema. Esso ha interessanti conseguenze sia teoriche che geometriche, per cui ci soffermeremo oltre che sulla formula ci soffermeremo anche sul significato geometrico, per poi fare qualche esempio.

 

Nota bene: alcuni testi lo chiamano teorema del valor medio o teorema della media, anche se in realtà tale espressione si riferisce solitamente al teorema di Lagrange. Come vedremo tra un attimo c'è una stretta correlazione tra i due risultati. ;)

 

Media integrale

 

Partiamo dalla definizione di media integrale di una funzione su un intervallo, detta anche valor medio integrale.

 

Consideriamo una funzione f:[a,b]\to\mathbb{R} limitata e integrabile in [a,b]. Si definisce media integrale (o valor medio) della funzione f(x) sull'intervallo [a,b] il numero reale:

 

M(f,[a,b])=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx

 

A parole il valore medio integrale non è altro che il rapporto tra l'integrale definito della funzione sull'intervallo e la lunghezza dell'intervallo stesso, intesa come differenza ordinata degli estremi.

 

Teorema della media integrale

 

Una volta definita la media integrale possiamo passare al succo del discorso. Prima di tutto, ecco l'enunciato del teorema della media integrale.

 

Sia f:[a,b]\to\mathbb{R} una funzione continua sull'intervallo [a,b]. Allora esiste un punto x_0\in[a,b] tale che

 

\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt=f(x_0)

 

ossia esiste un punto in cui la valutazione della funzione coincide con la media integrale della funzione sull'intervallo

 

M(f,[a,b])=f(x_0)

 

Equivalentemente

 

\int_{a}^{b}f(t)dt=f(x_0)\cdot (b-a)

 

Dimostrazione del teorema della media integrale

 

La dimostrazione di questo teorema è breve, ma richiede conoscenze pregresse. Nella lezione sul teorema di Torricelli-Barrow abbiamo definito la funzione integrale nel modo seguente

 

F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\quad\mbox{ con }x\in [a,b]

 

Sappiamo che F(x) è continua per il teorema fondamentale del calcolo integrale. Per lo stesso teorema, essendo per ipotesi f(x) continua, sappiamo anche che la funzione integrale è derivabile in (a,b) e che:

 

F'(x)= f(x)\quad\forall x\in (a,b)

 

La funzione integrale F(x) soddisfa quindi il teorema di Lagrange, il quale ci assicura l'esistenza di (almeno) un punto x_0\in (a,b) tale che

 

F(b)-F(a)=F'(x_0)\cdot(b-a)\ \ \ (\bullet)

 

Osserviamo ora che, per una nota proprietà degli integrali

 

F(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt=0

 

e inoltre, banalmente

 

F(b)=\int_{a}^{b}f(t)dt

 

D'altronde vale F'(x_0)= f(x_0) per il teorema fondamentale del calcolo integrale. Pertanto la relazione \bullet si riscrive come

 

\int_{a}^{b}f(t)dt= f(x_0)\cdot (b-a)\ \iff\ f(x_0)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt

 

Abbiamo così dimostrato la tesi.

 

Interpretazione geometrica della media integrale e del teorema

 

Prima di passare agli esempi e agli esercizi è bene soffermarsi per un istante sul significato geometrico del valor medio integrale.

 

Se la funzione integranda f(t) è positiva \forall t\in [a,b] ed è limitata ed integrabile su [a,b], sappiamo che l'integrale definito 

 

\int_{a}^{b}f(t)dt

 

ha il significato geometrico di area del trapezoide sotteso dal grafico della funzione. Rappresenta cioè l'area della parte di piano compresa tra il grafico della funzione, l'asse delle ascisse e le rette parallele all'asse delle ordinate di equazione x=a,\ x= b (si veda il significato geometrico dell'integrale di Riemann).

 

Con questa premessa, riguardando la formula della media integrale

 

M(f,[a,b])=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx

 

e riscrivendola nella forma

 

\int_{a}^{b}f(x)dx=M(f,[a,b])\cdot (b-a)

 

è immediato comprenderne il significato geometrico. La media integrale, nelle ipotesi di limitatezza e integrabilità della funzione f(x), corrisponde all'altezza di un rettangolo la cui area coincide con l'area sottesa dal grafico della funzione

 

Area sottesa dal grafico = Altezza rettangolo x base rettangolo

 

L'interpretazione geometrica stabilisce quindi che il valor medio integrale non è altro che l'altezza del rettangolo, con base [a,b]equivalente al trapezoide. Notate bene che questa interpretazione geometrica riguarda esclusivamente la media integrale e non coinvolge in alcun modo il successivo teorema.

 

Riguardo al significato geometrico del teorema del valor medio integrale, nelle dovute ipotesi esso garantisce l'esistenza di un punto x_0 dell'intervallo in cui la valutazione della funzione f(x_0) corrisponde all'altezza del suddetto rettangolo, la cui area coincide con l'area sottesa dal grafico della funzione

 

\int_{a}^{b}f(t)dt=f(x_0)\cdot (b-a)

 

dove f(x_0) è l'altezza del rettangolo e b-a è la sua base.

 

Esempio sul significato geometrico della media integrale

 

Vediamo che cosa intendiamo con un esempio grafico. Prendiamo in considerazione la funzione:

 

f(x)=x\mbox{ con }x\in [0,1] 

 

e notiamo che tale funzione è limitata e integrabile sull'intervallo [0,1], poiché è addirittura ivi continua (classi di funzioni integrabili). L'area del trapezoide, che nel grafico è riportato in azzurro, è data dall'integrale definito

 

A=\int_{0}^{1}xdx=

 

che possiamo calcolare velocemente grazie a quanto abbiamo visto nella lezione sugli integrali notevoli

 

=\left[\frac{x}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}

 

Il valor medio integrale è:

 

\\ M(f,[a,b])=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{1}{1-0}\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}

 

e rappresenta l'altezza del rettangolo (in rosso nel grafico) che ha per base il segmento [0,1] e che ha area pari a quella sottesa dal grafico della funzione.

 

 

Teorema della media integrale

 

 

Osservate che fino ad ora non abbiamo mai tirato in ballo il teorema della media integrale, questo perché il valor medio esiste indipendentemente dalla continuità della funzione. L'unica condizione richiesta è che la funzione f sia limitata ed integrabile in [a,b].

 

Il teorema della media integrale ci assicura che, nel caso in cui la funzione integranda sia continua, esiste (almeno) un valore x_0\in [a,b] la cui immagine tramite f coincide con il valor medio, cioè con l'altezza del rettangolo equivalente al trapezoide.

 

Il teorema inoltre non si limita a questo: ci fornisce una formula operativa che ci permette di individuare il punto mediante il quale la funzione integranda f(x) realizza la media integrale:

 

M(f,[0,1])=f(x_0)

 

da cui

 

x_0=\frac{1}{2}

 

 

Un altro esempio

 

Consideriamo la funzione f(x)=x^2 sull'intervallo x\in [-1,1]. Vogliamo verificare se vale il teorema della media integrale, e in caso affermativo, determinare il punto x_0\in [-1,1] tale che valga la relazione

 

M(f,[-1,1])=f(x_0)\quad (1) 

 

Per prima cosa [-1,1] è un intervallo chiuso e limitato, e la funzione f(x)=x^2 è continua in esso. Sussistono quindi le ipotesi del teorema della media integrale.

 

Il prossimo passaggio consiste nel determinare x_0\in [-1,1] per il quale valga la relazione (1). Calcoliamo per prima cosa l'integrale

 

\int_{-1}^{1}x^2dx= \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{-1}{3}=\frac{2}{3}

 

La media integrale in questo caso sarà:

 

M(f,[-1,1])=\frac{1}{1-(-1)}\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}

 

Una volta determinato l'integrale, imponiamo l'equazione

 

f(x_0)=M(f,[-1,1])

 

che corrisponde all'equazione di secondo grado

 

x_0^2=\frac{1}{3}\implies x_0=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}

 

Abbiamo determinato due valori ed entrambi appartengono a [-1,1], dunque entrambi possono essere accettati. Notate come questo esempio metta in mostra che il punto del teorema del valor medio integrale non debba essere necessariamente unico. Esattamente come nel caso del teorema di Lagrange esiste (almeno) un, e non esiste un unico. ;)

 

 


 

Fine! Se volete divertirvi un po' vi raccomandiamo il tool per la media integrale online, inoltre c'è una scheda correlata di esercizi svolti sulla media integrale. E se non bastassero ricordate che potete reperire migliaia e migliaia di esercizi risolti con la barra di ricerca interna. ;)

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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