Teorema fondamentale del calcolo integrale

Il teorema fondamentale del calcolo integrale (o teorema di Torricelli-Barrow) è un teorema che stabilisce la continuità della funzione integrale, e sotto opportune ipotesi la sua derivabilità; inoltre, fornisce una formula di calcolo detta formula fondamentale del calcolo integrale.

 

Eccoci giunti al cuore di tutta la teoria dell'integrazione. Qui di seguito vi presentiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale e cerchiamo di fare chiarezza sulle diverse varianti che vi capiterà di studiare sui libri e online. ;)

 

Il teorema si divide essenzialmente in due parti, dette primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Il primo teorema fornisce risultati qualitativi relativi alla funzione integrale, che definiremo tra un attimo. Il secondo teorema, denominato da alcuni come teorema di Torricelli-Barrow, fornisce invece una formula esplicita detta anche formula fondamentale del calcolo integrale, la quale ci permette di calcolare esplicitamente gli integrali definiti utilizzando il concetto di primitiva di una funzione.

 

Tra tutti i teoremi sugli integrali che abbiamo visto e che vedremo, questo è sicuramente il più importante. Cominciamo!

 

Enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale

 

Per fare in modo di mostrarvi l'enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale nel suo complesso, enunciamo la prima e la seconda parte del teorema in un blocco unico. Nel prosieguo della lezione ne dimostreremo separatamente le varie parti, riportando di volta in volta l'enunciato di riferimento. Prima però vediamo una definizione propedeutica.

 

Definizione di funzione integrale

 

Consideriamo una funzione f:[a,b]\to \mathbb{R}, limitata e integrabile secondo Riemann in [a,b]. Per ogni x\in [a,b] poniamo:

 

F(x)= \int_{a}^{x}f(t)dt

 

La funzione F viene detta funzione integrale di f su [a,b].

 

 

Enunciato del primo teorema fondamentale del calcolo integrale

 

Sia f:[a,b]\to\mathbb{R} una funzione limitata e integrabile in [a,b]. Allora la funzione integrale F(x) è continua nell'intervallo [a,b].

 

Se inoltre f(x) è una funzione continua su (a,b), allora la funzione integrale F(x) è derivabile in ogni punto in cui f(x) è continua, e risulta che

 

F'(x_0)=f(x_0)

 

Enunciato del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow)

 

Sia f:[a,b]\to\mathbb{R} una funzione che ammette una primitiva G(x) su [a,b]. Allora vale la formula fondamentale del calcolo integrale

 

\int_{a}^{b}f(t)= G(b)-G(a)

 

 

Osservazioni preliminari:

 

- in alcuni libri di testo l'enunciato del primo teorema riporta che F(x) è differenziabile in ogni punto in cui f(x) è continua. Niente paura, perché in una variabile derivabilità e differenziabilità sono condizioni equivalenti.

 

- Notate la generalità delle ipotesi sotto le quali vale il teorema di Torricelli-Barrow! :)

 

Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale

 

Avete letto, riletto e riletto ancora una volta l'enunciato? Se sì procediamo con la dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale; per semplificarvi lo studio procederemo a blocchi, in modo che possiate anche apprezzare le varie parti dell'enunciato come risultati a sé stanti.

 

 

Teorema (continuità della funzione integrale)

 

Sia f:[a,b]\to\mathbb{R} una funzione limitata e integrabile in [a,b]. Allora la funzione integrale F(x) è continua nell'intervallo [a,b].

 

Dimostrazione

 

Siano x, y\in [a,b] e lavoriamo sulla differenza |F(x)-F(y)| per ricavare la condizione di continuità. Le proprietà degli integrali vengono in nostro aiuto:

 

\begin{align*}|F(x)- F(y)|&= \left|\int_{a}^{x}f(t)dt- \int_{a}^{y}f(t)dt\right|\\&= \left|\int_{a}^{x}f(t)dt+ \int_{y}^{a}f(t)dt\right|\\&= \left|\int_{y}^{x}f(t)dt\right|\end{align}

 

Ora consideriamo l'estremo superiore delle immagini della funzione f sull'intervallo [a,b]

 

L= \sup_{x\in [a,b]}|f(x)|

 

Ancora una volta le proprietà degli integrali vengono in nostro soccorso, perché possiamo ottenere una semplice maggiorazione considerando il valore assoluto della funzione: f(x)\leq |f(x)|, da cui

 

\begin{align*}\left|\int_{y}^{x}f(t)\right|&\le \left|\int_{y}^{x}|f(t)|dt\right|\\&\le \left|\int_{y}^{x}L dx\right|= L|x-y|\end{align}

 

Riguardando gli estremi della catena di disuguaglianze, abbiamo ricavato

 

|F(x)-F(y)|\le L|x-y|\quad\forall x, y\in [a,b]

 

Da qui alla definizione di funzione continua il passo è breve: se fissiamo un \varepsilon\textgreater 0 basta prendere come \delta che soddisfa la definizione di funzione continua

 

\delta= \frac{\varepsilon }{L}

 

per cui se |x-y|\textless \varepsilon ne consegue che

 

|F(x)-F(y)|\textless \varepsilon

 

Siamo così giunti alla tesi.

 

Nota importante (per universitari)

 

In realtà non ci siamo limitati a dimostrare che la funzione integrale è continua: abbiamo dimostrato che la funzione integrale è una funzione lipschitziana con costante di Lipschitz data da L.

 

Inoltre, poiché la funzione integrale F è lipschitziana, allora è uniformemente continua su [a,b] e dunque continua su [a,b] (si veda la lezione del link per approfondire il discorso).

 

 

Teorema (esistenza della primitiva sotto l'ipotesi della continuità)


Sia f:[a,b]\to\mathbb{R} una funzione continua su (a,b). Allora la funzione integrale F(x) è derivabile in ogni punto in cui f(x) è continua, e risulta che

 

F'(x_0)=f(x_0)

 

Questo teorema ci fornisce due importanti informazioni. La funzione integrale di una funzione continua è derivabile in (a,b) ed inoltre per ogni x\in (a,b) si ha che F'(x)= f(x), cioè F(x) è una primitiva della funzione f(x).

 

È un risultato eccezionale, anche troppo per comprenderlo ad una prima lettura... ;)

 

Dimostrazione

 

Mostriamo che la funzione integrale F(x) è derivabile in x_0\in (a,b) nell'ipotesi di continuità di f(x).

 

Costruiamo il rapporto incrementale centrato in x_0 associato alla funzione F(x)

 

\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}

 

Dalla definizione di funzione integrale si ha che

 

F(x_0+h)= \int_{a}^{x_0+h}f(t)dt\qquad F(x_0)= \int_{a}^{x_0} f(t)dt

 

Di conseguenza:

 

\begin{align*}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}&= \frac{1}{h}\left[\int_{a}^{x_0+h}f(t)dt-\int_{a}^{x_0}f(t)dt\right]\\ &= \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt\end{align}

 

Inoltre possiamo riscrivere

 

f(x_0)= \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)

 

Pertanto

 

\begin{align*}\left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}- f(x_0)\right|&= \left|\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}(f(t)-f(x_0))dt\right|\\&\le \frac{1}{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}|f(t)-f(x_0)|dt\right|\end{align}

 

Adesso interviene l'ipotesi sulla continuità della funzione f(x) in x_0. Fissato \varepsilon\textgreater 0 esiste \delta\textgreater 0 per cui, se t è tale che |t-x_0|\textless \delta, allora |f(t)-f(x_0)|\textless\varepsilon

 

Consideriamo quindi 0\,\textless\,|h|\,\textless\delta. Necessariamente se t\in [x_0, x_0+h] (oppure se t\in [x_0-h, x_0]) allora si ha che |t-x_0|\textless \delta, e per la continuità di f avremo |f(t)-f(x_0)|\textless \varepsilon .

 

Sfruttando la monotonia dell'integrale si ha inoltre:

 

\frac{1}{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}|f(t)-f(x_0)|dt\right|\le \frac{1}{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}\varepsilon dt\right|= \varepsilon 

 

Abbiamo dimostrato che, indipendentemente dal valore di \varepsilon\textgreater 0, risulta che:

 

\begin{align*}\left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}- f(x_0)\right|\textless \varepsilon\end{align}

 

che è la tesi.

 

 

Teorema (di Torricelli-Barrow, formula fondamentale del calcolo integrale)


Sia f:[a,b]\to\mathbb{R} una funzione che ammette una primitiva G(x) su [a,b]. Allora vale la formula fondamentale del calcolo integrale

 

\int_{a}^{b}f(t)= G(b)-G(a)

 

Come abbiamo già anticipato in precedenza, questo teorema ci fornisce lo strumento analitico per calcolare gli integrali definiti. Sostanzialmente dovremo calcolare una primitiva G(x) mediante un opportuno integrale indefinito, per poi determinare la differenza tra G(x) valutata nel secondo estremo e G(x) valutata nel primo estremo di integrazione!

 

Dimostrazione

 

Poiché la funzione integrale F(x) è anche una primitiva della funzione f, e ricordando che tutte le primitive di una funzione continua differiscono di una costante C, allora si ha che:

 

F(x)= \int_{a}^{x}f(t)dt= G(x)+C

 

Inoltre sappiamo che, se x= a, dalle proprietà degli integrali risulta che

 

F(a)= \overbrace{\int_{a}^{a}f(t)dt}^{= 0}= G(a)+C\implies C=- G(a)

 

Possiamo esprimere la funzione integrale come:

 

\int_a^{x}f(t)dt=G(x)-G(a)

 

Ponendo x= b si arriva a scrivere

 

\int_{a}^{b}f(t)dt= G(b)-G(a)

 

che è la tesi.

 

Osservazione (notazione per la valutazione della primitiva agli estremi di integrazione)

 

Molto spesso nei libri viene utilizzata la seguente scrittura compatta

 

[G(x)]_{a}^{b} = G(b)-G(a)

 

L'importanza del teorema fondamentale del calcolo integrale

 

Abbiamo ripetuto più volte che questo teorema costituisce la base della teoria dell'integrazione. Nelle lezioni in cui abbiamo definito l'integrale di Riemann non abbiamo mai calcolato esplicitamente l'integrale di una funzione, semplicemente perché la definizione non è agevole: avremmo dovuto costruire le somme superiori e inferiori per una generica decomposizione, per poi determinare l'integrale inferiore e quello superiore.

 

Nella pratica tale procedura sarebbe stata semplicemente insostenibile. Fortunatamente il teorema fondamentale del calcolo integrale viene in nostro soccorso e ci consentirà di calcolare il valore degli integrali definiti tramite una semplice differenza!

 

 

Esempio

 

Vogliamo calcolare l'integrale definito

 

\int_{0}^{1} x^2dx

 

Nelle lezioni successive faremo di voi dei maestri dell'integrazione e vi spiegheremo come calcolare tutti gli integrali definiti ed indefiniti che affronterete a scuola e all'università. Per il momento affidiamoci alla definizione di primitiva e, osservando che

 

\frac{d}{dx}\left[\frac{x^3}{3}\right]=x^2

 

possiamo scrivere velocemente la famiglia di primitive della funzione f(x)= x^2

 

\int x^2dx= \frac{x^3}{3}+c

 

dove c è una costante arbitraria che individua tutte le possibili primitive.

 

Per i nostri scopi (integrale definito) possiamo prendere in esame una qualsiasi primitiva, ad esempio G(x)= \frac{x^3}{3}. Grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale scriveremo

 

\int_{0}^{1}x^2dx= \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}= \frac{1}{3}

 

E se invece decidessimo di usare un'altra primitiva? Vediamo cosa succede. Fissiamo c\in \mathbb{R} e prendiamo in considerazione G_c(x)= \frac{x^3}{3}+c:

 

[G_c(x)]_{0}^{1}= \frac{1}{3}+c-c= \frac{1}{3}

 

Capito? Il valore dell'integrale definito non dipende dalla costante additiva c. :D

 

Meraviglia delle meraviglie: il teorema di Torricelli-Barrow individua una stretta relazione tra gli integrali indefiniti con gli integrali definiti.

 

 


 

 

Speriamo che la lezione sia stata di vostro gradimento. Nella lezione successiva entriamo nel vivo del calcolo integrale e parliamo di integrali fondamentali, ossia come iniziare a calcolare esplicitamente gli integrali definiti e gli integrali indefiniti (per gli amici: come risolvere gli esercizi). Fatto ciò parleremo di un teorema che mette in mostra un'ulteriore sfaccettatura degli integrali definiti, il cosiddetto teorema della media integrale; infine esploreremo tutte le tecniche pratiche del calcolo integrale.

 

Come di consueto vi invitiamo ad usare la barra di ricerca interna, potrete trovare tutte le risposte ai vostri dubbi oltre a tantissimi esercizi svolti. ;)

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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